2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:09 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Добрый вечер!
Ни как не могу справится с этой задачкой.. Может подкинет кто идей

Две вещественные матрицы коммутируют, т.е.
$$AB=BA. \eqno{(1)}$$
Доказать, что
$$\det(A^2+B^2)\geq 0. \eqno{(2)}$$
Верно ли утверждение $(2)$ без условия $(1)$?

 i  Deggial: формулы оформил

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Указание: разложите $A^2+B^2$ на множители (используя комплексные числа). Без условия контрпример должен легко строиться для матриц 2-го порядка, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:24 
Аватара пользователя


05/04/13
580
RIP
Пробовал ничего толкого

-- 05.04.2013, 23:26 --

Хотел методом мат индукции но ничего путного для случая двумерных матриц тоже не вышло. Олимпиадная задача- МФТИ 2009

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Не нужно никакой индукции. Надо разложить $A^2+B^2$ на множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:46 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Допустим так
$\det((A+iB)(A-iB))=\det(A+iB)\det(A-iB)$
А дальше что

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Как связаны матрицы $A\pm\mathrm iB$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:58 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Не наю :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Можно догадаться, если посмотреть на то, что требуется доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:06 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Только не говори что у них определители одинакового знака :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Что значит «одинакового знака»? Это комплексные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Ответ может быть неотрицательным если только значение этих определителей комплексно сопряжены.
Если ты к этому клонил то исходя из чего такое утверждение

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Не только в этом случае, но именно к этому я и клонил. Исходя из определения определителя, извините за каламбур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:30 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Да все нормально... А что значит исходя из определения определителя.. Как это вытекает. два на два матрице это еще можно проследить но как доказать в общем случае

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Определитель матрицы является многочленом от элементов матрицы с вещественными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:40 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Спасибо друг :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: YandexBot [bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group