2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:09 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Добрый вечер!
Ни как не могу справится с этой задачкой.. Может подкинет кто идей

Две вещественные матрицы коммутируют, т.е.
$$AB=BA. \eqno{(1)}$$
Доказать, что
$$\det(A^2+B^2)\geq 0. \eqno{(2)}$$
Верно ли утверждение $(2)$ без условия $(1)$?

 i  Deggial: формулы оформил

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Указание: разложите $A^2+B^2$ на множители (используя комплексные числа). Без условия контрпример должен легко строиться для матриц 2-го порядка, наверное.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:24 
Аватара пользователя


05/04/13
580
RIP
Пробовал ничего толкого

-- 05.04.2013, 23:26 --

Хотел методом мат индукции но ничего путного для случая двумерных матриц тоже не вышло. Олимпиадная задача- МФТИ 2009

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Не нужно никакой индукции. Надо разложить $A^2+B^2$ на множители.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:46 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Допустим так
$\det((A+iB)(A-iB))=\det(A+iB)\det(A-iB)$
А дальше что

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:54 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Как связаны матрицы $A\pm\mathrm iB$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 22:58 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Не наю :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Можно догадаться, если посмотреть на то, что требуется доказать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:06 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Только не говори что у них определители одинакового знака :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:13 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Что значит «одинакового знака»? Это комплексные числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:16 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Ответ может быть неотрицательным если только значение этих определителей комплексно сопряжены.
Если ты к этому клонил то исходя из чего такое утверждение

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Не только в этом случае, но именно к этому я и клонил. Исходя из определения определителя, извините за каламбур.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:30 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Да все нормально... А что значит исходя из определения определителя.. Как это вытекает. два на два матрице это еще можно проследить но как доказать в общем случае

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3828
Определитель матрицы является многочленом от элементов матрицы с вещественными коэффициентами.

 Профиль  
                  
 
 Re: Матрицы
Сообщение05.04.2013, 23:40 
Аватара пользователя


05/04/13
580
Спасибо друг :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group