любители диофантовых уравнений

[4arodej]

Задача: Имеет ли уравнение $x^4+y^4+z^4=u^4$ решение в целых числах? А уравнение: $x^4+y^4+z^4=u^2$? У второго подбирается $12,15,20$, а $u$ вычисляется, а вот есть ли другие?

[Руст]

Один из классиков высказал гипотезу по аналогии с ВТФ, что
$x_1^n+x_2^n+\dots +x_k^n=x_{k+1}^n $
не имеет решения в целых числах при $k<n$. Однако, это утверждение как выяснилось неверно.
Решения для случая $k=3$ $n=4$ или $n=5$ я встречал даже в какой то книжке. Вроде есть решения и для других наборов $n>k\geq 3$.

[Someone]

Руст писал(а):

Один из классиков высказал гипотезу по аналогии с ВТФ, что
$x_1^n+x_2^n+\dots +x_k^n=x_{k+1}^n $
не имеет решения в целых числах при $k<n$. Однако, это утверждение как выяснилось неверно.
Решения для случая $k=3$ $n=4$ или $n=5$ я встречал даже в какой то книжке. Вроде есть решения и для других наборов $n>k\geq 3$.

Это гипотеза Эйлера. Смотрите

http://mathworld.wolfram.com/EulersSumofPowersConjecture.html

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html

и в окрестности: http://mathworld.wolfram.com/topics/DiophantineEquations.html

[sceptic]

4arodej писал(а):

А уравнение: $x^4+y^4+z^4=u^2$? У второго подбирается $12,15,20$, а $u$ вычисляется, а вот есть ли другие?

Если $a^2+b^2=c^2$. то имеет место $(ab)^4+(ac)^4+(bc)^4=(c^4-a^2b^2)^2$, в чем легко убедиться. Т.е. каждая пифагорова тройка порождает решение уравнения $x^4+y^4+z^4=u^2$.

[Батороев]

sceptic в сообщении #14606 писал(а):

Если $a^2+b^2=c^2$. то имеет место $(ab)^4+(ac)^4+(bc)^4=(c^4-a^2b^2)^2$, в чем легко убедиться. Т.е. каждая пифагорова тройка порождает решение уравнения $^4+y^4+z^4=u^2$.

Тогда возникает следующий вопрос:

Коль скоро, $(ab)^{2n}+(ac)^{2n}+(bc)^{2n}=(c^{2n}-a^nb^n)^2$, то выполнимо ли уравнение: $a^n+b^n=c^n$?

Т.е. что, например, известно об уравнении $x^6+y^6+z^6=u^2$?