2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 любители диофантовых уравнений
Сообщение28.03.2006, 10:40 
Задача: Имеет ли уравнение $x^4+y^4+z^4=u^4$ решение в целых числах? А уравнение: $x^4+y^4+z^4=u^2$? У второго подбирается $12,15,20$, а $u$ вычисляется, а вот есть ли другие?

 
 
 
 
Сообщение28.03.2006, 10:50 
Один из классиков высказал гипотезу по аналогии с ВТФ, что
$x_1^n+x_2^n+\dots +x_k^n=x_{k+1}^n $
не имеет решения в целых числах при $k<n$. Однако, это утверждение как выяснилось неверно.
Решения для случая $k=3$ $n=4$ или $n=5$ я встречал даже в какой то книжке. Вроде есть решения и для других наборов $n>k\geq 3$.

 
 
 
 
Сообщение28.03.2006, 11:41 
Аватара пользователя
Руст писал(а):
Один из классиков высказал гипотезу по аналогии с ВТФ, что
$x_1^n+x_2^n+\dots +x_k^n=x_{k+1}^n $
не имеет решения в целых числах при $k<n$. Однако, это утверждение как выяснилось неверно.
Решения для случая $k=3$ $n=4$ или $n=5$ я встречал даже в какой то книжке. Вроде есть решения и для других наборов $n>k\geq 3$.


Это гипотеза Эйлера. Смотрите

http://mathworld.wolfram.com/EulersSumofPowersConjecture.html

http://mathworld.wolfram.com/DiophantineEquation4thPowers.html

и в окрестности: http://mathworld.wolfram.com/topics/DiophantineEquations.html

 
 
 
 Про второе уравнение
Сообщение28.03.2006, 14:28 
4arodej писал(а):
А уравнение: $x^4+y^4+z^4=u^2$? У второго подбирается $12,15,20$, а $u$ вычисляется, а вот есть ли другие?


Если $a^2+b^2=c^2$. то имеет место $(ab)^4+(ac)^4+(bc)^4=(c^4-a^2b^2)^2$, в чем легко убедиться. Т.е. каждая пифагорова тройка порождает решение уравнения $x^4+y^4+z^4=u^2$.

 
 
 
 Re: Про второе уравнение
Сообщение05.04.2013, 12:29 
sceptic в сообщении #14606 писал(а):
Если $a^2+b^2=c^2$. то имеет место $(ab)^4+(ac)^4+(bc)^4=(c^4-a^2b^2)^2$, в чем легко убедиться. Т.е. каждая пифагорова тройка порождает решение уравнения $^4+y^4+z^4=u^2$.

Тогда возникает следующий вопрос:

Коль скоро, $(ab)^{2n}+(ac)^{2n}+(bc)^{2n}=(c^{2n}-a^nb^n)^2$, то выполнимо ли уравнение: $a^n+b^n=c^n$?

Т.е. что, например, известно об уравнении $x^6+y^6+z^6=u^2$?

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group