Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду

[Lickut]

Помогите решить:
Пусть $ f_n \to f $ в $L_1(X,\mu)$ , доказать,что $\exists$ подпоследовательность $f_n__k$ (x) , и такая функция $g(x) \in L_1(X,\mu), что $|f_n__k $$(x)| \le g(x)$ почти всюду

Думал перейти к подпоследовательности,сходящейся почти равномерно к $ f(x)$ , но дальше как-то глухо.

[--mS--]

Да ведь контрпримеров выше крыши. Например, $X=[0,\,1]$, $\mu$ - мера Лебега, $f_n(x)=\sqrt{n}I_{[0,\,\frac1n)}(x)$, $f\equiv 0$.

$$\int_X |f_n(x)|\mu(dx)=\sqrt{n}\cdot\frac1n \to 0.$$

И никакой функцией никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не будет почти всюду ограничена.

Upd: Да, маху дала: конечно, интегрируемую верхнюю огибающую для подходящей подпоследовательности тут можно построить.

(Оффтоп)

Вот не знаю, если сказать "спасибо пользователю smbd, указавшему в ЛС на это обстоятельство", это тоже будет разглашением личной переписки?

-- Вт апр 02, 2013 23:15:39 --

Ну, скажем, так. Ни разу не ограничивая общности, пусть $f\equiv 0$. Сходимость в $L_1$ влечёт сходимость по мере. Из сходящейся по мере последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. Сходимость п.в. означает, что для всякого $\varepsilon>0$ и для почти всех (по мере $\mu$) $x\in X$ найдётся номер $K(x, \varepsilon)$: $|f_{n_k}(x)|\leq \varepsilon$ при $k\geqslant K$. Если бы задача была в вероятностной постановке, я бы сказала, что "события $\{|\xi_{n_k}|>\varepsilon\}$" происходят почти наверное конечное число раз.

Вот отсюда уже можно начинать строить мажоранту.

[Lickut]

--mS-- в сообщении #704848 писал(а):

Ну, скажем, так. Ни разу не ограничивая общности, пусть $f\equiv 0$. Сходимость в $L_1$ влечёт сходимость по мере. Из сходящейся по мере последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. Сходимость п.в. означает, что для всякого $\varepsilon>0$ и для почти всех (по мере $\mu$) $x\in X$ найдётся номер $K(x, \varepsilon)$: $|f_{n_k}(x)|\leq \varepsilon$ при $k\geqslant K$. Если бы задача была в вероятностной постановке, я бы сказала, что "события $\{|\xi_{n_k}|>\varepsilon\}$" происходят почти наверное конечное число раз.
Вот отсюда уже можно начинать строить мажоранту.

Поскольку $K(x,\varepsilon)$ зависит от $x$ ,не совсем понятно,как ее строить.

[g______d]

Мне кажется, что для сходимости только по мере это неверно. Для контрпримера надо брать такие же пики, но быстро растущей высоты: сходимость по мере вообще не чувствует величины функции на множестве малой меры. Нужно как-то использовать $L_1$, но пока у меня не получилось.

[sup]

А что если так.
Рассмотрим $g_n = |f_n - f|$. Тогда $g_n \to 0$ в $L_1(X,\mu)$.
Рассмотрим подпоследовательность $g_{n_k}$ такую, что $\int \limits_X g_{n_k} d \mu <1/k^2$.
Наконец положим $g=\sum \limits_k g_{n_k}$
Тогда $|f_{n_k}| < |f| + g$

[--mS--]

g______d в сообщении #705031 писал(а):

Мне кажется, что для сходимости только по мере это неверно.

Ну, для множества конечной меры у меня получилось доказать, что из сходящейся п.в. к нулю (под)последовательности можно выбрать (под)подпоследовательность с интегрируемой мажорантой (в смысле п.в. мажорантой). Или мне кажется, что получилось

А ларчик, как показывает остроумное решение sup, просто открывался

[Lickut]

Всем большое спасибо за помощь

[g______d]

--mS-- в сообщении #705342 писал(а):

Ну, для множества конечной меры у меня получилось доказать, что из сходящейся п.в. к нулю (под)последовательности можно выбрать (под)подпоследовательность с интегрируемой мажорантой (в смысле п.в. мажорантой). Или мне кажется, что получилось

В качестве контрпримера подойдет Ваш же первый пример, если его на что-нибудь умножить вроде $n$ :)

-- 04.04.2013, 11:58 --

sup, красивое решение, только, по-моему, не хватает $|g_{n_k}|$.

[sup]

Дык там же модуль уже в определении $g_n$

[g______d]

(Оффтоп)

sup в сообщении #705533 писал(а):

Дык там же модуль уже в определении $g_n$

Читать не умею :(

[--mS--]

g______d в сообщении #705526 писал(а):

В качестве контрпримера подойдет Ваш же первый пример, если его на что-нибудь умножить вроде $n$ :)

Резонно. Ряд, играющий роль мажоранты, тогда сходиться наотрез отказывается