2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение02.04.2013, 12:47 
Помогите решить:
Пусть $ f_n \to f $ в $L_1(X,\mu)$ , доказать,что $\exists$ подпоследовательность $f_n__k$ (x) , и такая функция $g(x) \in L_1(X,\mu), что $|f_n__k $$(x)| \le g(x)$ почти всюду

Думал перейти к подпоследовательности,сходящейся почти равномерно к $ f(x)$ , но дальше как-то глухо.

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение02.04.2013, 18:27 
Аватара пользователя
Да ведь контрпримеров выше крыши. Например, $X=[0,\,1]$, $\mu$ - мера Лебега, $f_n(x)=\sqrt{n}I_{[0,\,\frac1n)}(x)$, $f\equiv 0$.
$$\int_X |f_n(x)|\mu(dx)=\sqrt{n}\cdot\frac1n \to 0.$$
И никакой функцией никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не будет почти всюду ограничена.


Upd: Да, маху дала: конечно, интегрируемую верхнюю огибающую для подходящей подпоследовательности тут можно построить.

(Оффтоп)

Вот не знаю, если сказать "спасибо пользователю smbd, указавшему в ЛС на это обстоятельство", это тоже будет разглашением личной переписки?


-- Вт апр 02, 2013 23:15:39 --

Ну, скажем, так. Ни разу не ограничивая общности, пусть $f\equiv 0$. Сходимость в $L_1$ влечёт сходимость по мере. Из сходящейся по мере последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. Сходимость п.в. означает, что для всякого $\varepsilon>0$ и для почти всех (по мере $\mu$) $x\in X$ найдётся номер $K(x, \varepsilon)$: $|f_{n_k}(x)|\leq \varepsilon$ при $k\geqslant K$. Если бы задача была в вероятностной постановке, я бы сказала, что "события $\{|\xi_{n_k}|>\varepsilon\}$" происходят почти наверное конечное число раз.

Вот отсюда уже можно начинать строить мажоранту.

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение02.04.2013, 20:57 
--mS-- в сообщении #704848 писал(а):
Ну, скажем, так. Ни разу не ограничивая общности, пусть $f\equiv 0$. Сходимость в $L_1$ влечёт сходимость по мере. Из сходящейся по мере последовательности можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к нулю почти всюду. Сходимость п.в. означает, что для всякого $\varepsilon>0$ и для почти всех (по мере $\mu$) $x\in X$ найдётся номер $K(x, \varepsilon)$: $|f_{n_k}(x)|\leq \varepsilon$ при $k\geqslant K$. Если бы задача была в вероятностной постановке, я бы сказала, что "события $\{|\xi_{n_k}|>\varepsilon\}$" происходят почти наверное конечное число раз.
Вот отсюда уже можно начинать строить мажоранту.

Поскольку $K(x,\varepsilon)$ зависит от $x$ ,не совсем понятно,как ее строить.

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение03.04.2013, 00:14 
Аватара пользователя
Мне кажется, что для сходимости только по мере это неверно. Для контрпримера надо брать такие же пики, но быстро растущей высоты: сходимость по мере вообще не чувствует величины функции на множестве малой меры. Нужно как-то использовать $L_1$, но пока у меня не получилось.

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение03.04.2013, 14:51 
А что если так.
Рассмотрим $g_n = |f_n - f|$. Тогда $g_n \to 0$ в $L_1(X,\mu)$.
Рассмотрим подпоследовательность $g_{n_k}$ такую, что $\int \limits_X g_{n_k} d \mu <1/k^2$.
Наконец положим $g=\sum \limits_k g_{n_k}$
Тогда $|f_{n_k}| < |f| + g$

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение03.04.2013, 19:48 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #705031 писал(а):
Мне кажется, что для сходимости только по мере это неверно.

Ну, для множества конечной меры у меня получилось доказать, что из сходящейся п.в. к нулю (под)последовательности можно выбрать (под)подпоследовательность с интегрируемой мажорантой (в смысле п.в. мажорантой). Или мне кажется, что получилось :-)

А ларчик, как показывает остроумное решение sup, просто открывался :oops:

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение03.04.2013, 20:34 
Всем большое спасибо за помощь

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение04.04.2013, 10:55 
Аватара пользователя
--mS-- в сообщении #705342 писал(а):
Ну, для множества конечной меры у меня получилось доказать, что из сходящейся п.в. к нулю (под)последовательности можно выбрать (под)подпоследовательность с интегрируемой мажорантой (в смысле п.в. мажорантой). Или мне кажется, что получилось :-)


В качестве контрпримера подойдет Ваш же первый пример, если его на что-нибудь умножить вроде $n$ :)

-- 04.04.2013, 11:58 --

sup, красивое решение, только, по-моему, не хватает $|g_{n_k}|$.

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение04.04.2013, 11:24 
Дык там же модуль уже в определении $g_n$ :D

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение04.04.2013, 13:47 
Аватара пользователя

(Оффтоп)

sup в сообщении #705533 писал(а):
Дык там же модуль уже в определении $g_n$ :D

Читать не умею :(

 
 
 
 Re: Ограниченность подпоследовательности функций почти всюду
Сообщение04.04.2013, 14:08 
Аватара пользователя
g______d в сообщении #705526 писал(а):
В качестве контрпримера подойдет Ваш же первый пример, если его на что-нибудь умножить вроде $n$ :)

Резонно. Ряд, играющий роль мажоранты, тогда сходиться наотрез отказывается :roll:

 
 
 [ Сообщений: 11 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group