Общее решение многомерного уравнения конвекции-диффузии

[ququz]

Доброго времени суток всем участникам!
У меня есть небольшой вопрос по уравнениям математической физики. Несмотря на то, что я этот проходил курс в университете дважды, в этот раз мои знания меня совершенно не спасают.
Итак, мой вопрос заключается в следующем: мне нужна хоть какая-то релевантная информация про существование и единственность решения многомерного уравнения конвекции-диффузии (по крайней мере, я его отнес именно к этому типу):

$u_t = \Delta u + \sum_{i=1}^n u_{x_i} = \sum_{i=1}^n u_{x_i, x_i} + \sum_{i=1}^n u_{x_i}$, где $x \in \Omega \subset R^n$, $0 < t < \infty$.

Кроме того, данное уравнение рассматривается как краевая задача с первыми краевыми условиями:
$u(x,t) = \varphi(x,t), где $x \in \delta \Omega, 0 < t < \infty, \varphi \in C^\infty$.

Точное решение (если они в принципе существуют) находить не нужно, но нужно найти хотя бы какую-то релевантную информацию про это уравнение.

Моя идея заключалась в том, что по идее это частный вид уравнения конвекции-диффузии с источником тепла. В одномерном случае используется замена $v(x,t) = \exp( \beta t + \mu x) u(x,t)$. Таким образом мы приходим к одномерному уравнению диффузии с источником тепла.
Мне неясно, можно ли применить аналогичную замену для многомерного случая.

Что касается граничных условий - я не нашел ни одного источника, где бы рассматривалась эта краевая задача без начальных условий. А поиск статей, которые хоть как-то касаются этой задачи, привел меня к трем статьям, которые частитчно освещают проблему, но не в полной мере.

Спасибо заранее тем, кто сможет помочь мне в этом разобраться. Возможно, проблема намного проще и я не вижу очевидных вариантов решения :)

[sup]

Вы не указали начальные данные $u(x,0) = u_0(x)$. Это "случайное недоразумение" или в задаче нет начальных данных? Наверное все таки данные имеются, но Вы забыли их написать.
Если так, то при весьма общих условиях на эти данные решение задачи существует и единственно (в подходящих пространствах).
Можно также утверждать, что решение будет гладким если выполнены некие условия согласования между начальными данными и гран. условиями. Эти условия носят "естественный" характер согласования уравнения, гран. условий и начальных данных при $t=0$ на краю области. В этих точках $u_t$ вычисляется из гран. условий. А $\Delta u$ и первые производные - из начальных данных.
Можно сделать и замену $v(x,t) = u(x,t)\prod e^{x_i/2}$. Но, как мне кажется, это ни на что не влияет.

[ququz]

Спасибо огромное за помощь!

Я не указал начальные условия, потому что они не указаны в задаче. Судя по всему, это и есть главный вопрос задачи - на понимание того простого факта, что единственность решения задачи Коши гарантирована только при фиксированных начальных данных. Собственно, это и есть ответ на поставленный преподавателем вопрос (как я понял).

Не могли бы вы уточнить, какие условия накладываются на начальные данные (принадлежность к $C^\infty$ и ограниченность в области $\Omega$)?

[sup]

Условия на начальные данные зависят от того, какое решение Вы хотите получить. Согласитесь, трудно рассчитывать на гладкое решение, если уже начальные данные не гладкие. Кроме того, имеет значение еще и гладкость границы области. Короче, чем больше производных от решения Вы требуете, тем более гладкими должны быть начальные данные и гладкость границы. И тем больше условий согласования на краю должно быть выполнено.

[ququz]

Я в итоге сделал простую замену
$y_i = x_i + t, i=1..n$
Для приведения уравнения к канонической форме (если конечно у уравнений с количеством переменных более 2х есть каноническая форма).
Таким образом получаю многомерное уравнение теплопроводности. Для его решения использую метод Фурье (точнее, мог бы использовать, если бы задача была поставлена корректно, с указанием начальных условий).

Спасибо огромное за Вашу помощь! Бывает иногда полезно в студенческие годы и вспомнить немного о дифференциальных уравнениях :)

[ququz]

У меня появился еще один вопрос по существу постановки задачи. Теоретически, мы можем решить задачу в отсутствие начальных условий в том случае, если нас интересует процесс в момент времени, достаточно далекий от начального. В общем случае это (наверняка) не так, но в процессе теплопереноса влияние начальных условий ослабевает с течением времени.
Верно ли такое заключение?

[sup]

Да, такую задачу можно рассматривать. В этом случае $-\infty < t < \infty$ и начальных данных нет. Такая задача тоже корректна.