Антимагические квадраты

[Nataly-Mak]

О!
Пришли решения к головоломке
http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_681.htm
от Andresen.

Грандиозно! Надо всё это обдумать.

Главный результат - подтверждена минимальность индекса (1597) квадрата Стенли 7-го порядка из простых чисел.
Наконец-то! Следовательно, пандиагональный квадрат 7-го порядка, построенный мной из этого квадрата Стенли, тоже является наименьшим (регулярным) квадратом.
Очень долго никто не мог доказать это.

Однако остаётся открытым вопрос о нерегулярных пандиагональных квадратах 7-го порядка.

[Nataly-Mak]

Эх-ма! Нагородили тут огород с общими формулами для квадратов Стенли (с моей подачи)
Ну, эти формулы тоже, конечно, полезны.
Однако всё гораздо проще! Поскольку установлено (в этой ветке), что квадраты Стенли суть то же самое, что и примитивные квадраты по Россеру, то и общая формула квадратов Стенли будет очень простая; эта формула следует из определения примитивного квадрата по Россеру.

Будем обозначать квадрат Стенли порядка n как матрицу $A(i,j)$, i,j=1,2,3,...,n.
Индекс квадрата, как всегда, обозначим $S$.
Тогда независимыми переменными будут:
$A(1,1),A(1,2),A(1,3),...,A(1,n),A(2,1),A(3,1),...,A(n,1)$,

то есть все элементы первой строки и первого столбца квадрата.

Всего независимых переменных $(2n-1)$.
Все зависимые элементы квадрата вычисляются по следующей формуле:

$A(i,j)=A(i,j-1)+A(i-1,j)-A(i-1,j-1)$, где i,j>1

Индекс квадрата $S$ вычисляется, например, по такой формуле:

$S=A(1,1)+A(2,2)+A(3,3)+...+A(n,n)$

Очень компактная формула для квадратов Стенли любого порядка n.

Кстати, именно по этой формуле я строила минимальные квадраты Стенли порядков 6 и 7 из простых чисел.

-- Вс мар 31, 2013 08:13:16 --

Andersen пишет (в головоломке 681; ссылка указана выше):

Цитата:

This is probably minimal for 11 but has not been fully proven:
(11,18191): (23,89,163,179,331,569,613,859,1153,2063,2531)
+ (0,18,48,78,270,378,1128,1140,1698,2220,2640)

А вот и сам квадрат Стенли полрядка 11 с индексом 18191:

Цитата:

Probably minimal (11,18191)
(0,18,48,78,270,378,1128,1140,1698,2220,2640)

23 41 71 101 293 401 1151 1163 1721 2243 2663
89 107 137 167 359 467 1217 1229 1787 2309 2729
163 181 211 241 433 541 1291 1303 1861 2383 2803
179 197 227 257 449 557 1307 1319 1877 2399 2819
331 349 379 409 601 709 1459 1471 2029 2551 2971
569 587 617 647 839 947 1697 1709 2267 2789 3209
613 631 661 691 883 991 1741 1753 2311 2833 3253
859 877 907 937 1129 1237 1987 1999 2557 3079 3499
1153 1171 1201 1231 1423 1531 2281 2293 2851 3373 3793
2063 2081 2111 2141 2333 2441 3191 3203 3761 4283 4703
2531 2549 2579 2609 2801 2909 3659 3671 4229 4751 5171

[Кстати, интересную схему для записи квадрата Стенли предложил Andersen.]

Замечательный результат!
Помню, с каким трудом я строила примитивный квадрат 11-го порядка из различных простых чисел. И построенный мной квадрат имеет гораздо больший индекс (это всё есть в моей статье из цикла статей "Нетрадиционные пандиагональные квадраты").
Теперь можно из этого квадрата Стенли получить пандиагональный квадрат с магической константой 18191. Класс!

И ещё не доказано, что это наименьший квадрат!

-- Вс мар 31, 2013 08:19:23 --

Nataly-Mak в сообщении #672400 писал(а):

В своей давней статье нашла квадраты Стенли порядков 8 - 11 из простых чисел.

n=8
11 37 107 151 277 359 571 2221
41 67 137 181 307 389 601 2251
71 97 167 211 337 419 631 2281
83 109 179 223 349 431 643 2293
101 127 197 241 367 449 661 2311
131 157 227 271 397 479 691 2341
173 199 269 313 439 521 733 2383
743 769 839 883 1009 1091 1303 2953
S=5000

n=9
11 37 107 151 277 359 571 2221 3271
41 67 137 181 307 389 601 2251 3301
71 97 167 211 337 419 631 2281 3331
83 109 179 223 349 431 643 2293 3343
101 127 197 241 367 449 661 2311 3361
131 157 227 271 397 479 691 2341 3391
173 199 269 313 439 521 733 2383 3433
743 769 839 883 1009 1091 1303 2953 4003
1523 1549 1619 1663 1789 1871 2083 3733 4783
S=9783

n=10
11 23 41 53 107 353 443 1427 1973 24077
17 29 47 59 113 359 449 1433 1979 24083
31 43 61 73 127 373 463 1447 1993 24097
67 79 97 109 163 409 499 1483 2029 24133
137 149 167 179 233 479 569 1553 2099 24203
181 193 211 223 277 523 613 1597 2143 24247
251 263 281 293 347 593 683 1667 2213 24317
4241 4253 4271 4283 4337 4583 4673 5657 6203 28307
5407 5419 5437 5449 5503 5749 5839 6823 7369 29473
6257 6269 6287 6299 6353 6599 6689 7673 8219 30323
S=44998

n=11
11 23 41 53 107 353 443 1427 1973 24077 59387
17 29 47 59 113 359 449 1433 1979 24083 59393
31 43 61 73 127 373 463 1447 1993 24097 59407
67 79 97 109 163 409 499 1483 2029 24133 59443
137 149 167 179 233 479 569 1553 2099 24203 59513
181 193 211 223 277 523 613 1597 2143 24247 59557
251 263 281 293 347 593 683 1667 2213 24317 59627
4241 4253 4271 4283 4337 4583 4673 5657 6203 28307 63617
5407 5419 5437 5449 5503 5749 5839 6823 7369 29473 64783
6257 6269 6287 6299 6353 6599 6689 7673 8219 30323 65633
93967 93979 93997 94009 94063 94309 94399 95383 95929 118033 153343
S=198341

Это построенные мной квадраты Стенли из простых чисел порядков 8-11.
Andersen нашёл для порядков 8-10 квадраты Стенли с минимальными индексами.
Для порядка 11 его квадрат тоже отличный, но не доказано, что индекс этого квадрата минимальный.

-- Вс мар 31, 2013 08:36:00 --

А вот квадрат Стенли 13-го порядка у Andersen имеет индекс намного больше моего:

Цитата:

Non-minimal (13,37058897)

147863 180097 467507 624313 739549 833659 1091807 1507007 1763477 2121241 4115263 4961741 10757633
177893 210127 497537 654343 769579 863689 1121837 1537037 1793507 2151271 4145293 4991771 10787663
298013 330247 617657 774463 889699 983809 1241957 1657157 1913627 2271391 4265413 5111891 10907783
328043 360277 647687 804493 919729 1013839 1271987 1687187 1943657 2301421 4295443 5141921 10937813
358073 390307 677717 834523 949759 1043869 1302017 1717217 1973687 2331451 4325473 5171951 10967843
718433 750667 1038077 1194883 1310119 1404229 1662377 2077577 2334047 2691811 4685833 5532311 11328203
748463 780697 1068107 1224913 1340149 1434259 1692407 2107607 2364077 2721841 4715863 5562341 11358233
838553 870787 1158197 1315003 1430239 1524349 1782497 2197697 2454167 2811931 4805953 5652431 11448323
868583 900817 1188227 1345033 1460269 1554379 1812527 2227727 2484197 2841961 4835983 5682461 11478353
898613 930847 1218257 1375063 1490299 1584409 1842557 2257757 2514227 2871991 4866013 5712491 11508383
1228943 1261177 1548587 1705393 1820629 1914739 2172887 2588087 2844557 3202321 5196343 6042821 11838713
1319033 1351267 1638677 1795483 1910719 2004829 2262977 2678177 2934647 3292411 5286433 6132911 11928803
1739453 1771687 2059097 2215903 2331139 2425249 2683397 3098597 3355067 3712831 5706853 6553331 12349223

Построенный мной квадрат имеет индекс 5441577. Сейчас скопирую его из своей статьи.
Квадраты Стенли порядка больше 13 из различных простых чисел мне построить не удалось.

-- Вс мар 31, 2013 08:42:10 --

Вот мой квадрат Стенли 13-го порядка из простых чисел с индексом 5441577:

277 823 991 1237 1621 5101 5857 30181 116533 120097 843757 997141 1037041
563 1109 1277 1523 1907 5387 6143 30467 116819 120383 844043 997427 1037327
2657 3203 3371 3617 4001 7481 8237 32561 118913 122477 846137 999521 1039421
4457 5003 5171 5417 5801 9281 10037 34361 120713 124277 847937 1001321 1041221
5077 5623 5791 6037 6421 9901 10657 34981 121333 124897 848557 1001941 1041841
6247 6793 6961 7207 7591 11071 11827 36151 122503 126067 849727 1003111 1043011
8663 9209 9377 9623 10007 13487 14243 38567 124919 128483 852143 1005527 1045427
23173 23719 23887 24133 24517 27997 28753 53077 139429 142993 866653 1020037 1059937
25933 26479 26647 26893 27277 30757 31513 55837 142189 145753 869413 1022797 1062697
189547 190093 190261 190507 190891 194371 195127 219451 305803 309367 1033027 1186411 1226311
536443 536989 537157 537403 537787 541267 542023 566347 652699 656263 1379923 1533307 1573207
557537 558083 558251 558497 558881 562361 563117 587441 673793 677357 1401017 1554401 1594301
923947 924493 924661 924907 925291 928771 929527 953851 1040203 1043767 1767427 1920811 1960711

Скопирован из статьи:
http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr6.htm

[Nataly-Mak]

Да-а-а-а...
Не жалуют в России ни магические, ни антимагические квадраты
А вот иностранцы тему читают. Не верите?

Вот цитата из головоломки 681, Andersen пишет:

Цитата:

topic58862.html (in Russian) shows that Natalia is also
interested in squares of Smith numbers. The squares with minimal index for
2 to 6 are shown at topic58862-75.html. In my notation:
(2,143): (22,85) + (0,36)
(3,669): (22,85,346) + (0,36,180)
(4,2088): (85,346,526,654) + (0,9,36,432)
(5,8318): (58,202,454,1858,3802) + (0,63,324,504,1053)
(6,30885): (319,535,1255,3595,4279,13639) + (0,27,1323,1359,1647,2907)

It appears from a Google translation that (6,30885) wasn't known to be
minimal. The minimal d=7 for Smith numbers is
(7,87643): (454,1642,2038,5674,5935,20362,24214)
+ (0,180,1404,2160,3600,3960,16020)

The smallest d=8 I found is
(8,264200): (778,2038,4918,18274,19498,22054,42754,45238)
+ (0,180,2268,4464,7740,16308,22464,55224)
I don't know whether it's minimal.

Поэтому я продолжу

Тут выше Pavlovsky преобразовал построенные (по арифметическим прогрессиям Вроблевского) квадраты Стенли 17-го и 19-го порядка с помощью преобразования Россера и получил пандиагональные квадраты.
Пыталась выяснить формулу преобразования, которое он применил. Вопрос так и повис в воздухе...

Я пандиагональные квадраты 17-го и 19-го порядка не строила, поэтому и преобразование не знаю какое в данном случае применяется.
А вот квадраты 11-го порядка строила, это описано в статье:
http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr5a.htm
В статье вы найдёте преобразование Россера, которым я пользовалась при построении этих квадратов:
$A(i,j) = B(3i+2j,2i+j)$ ,
где $A(i,j)$ - элементы примитивного квадрата (квадрата Стенли),
$B(3i+2j,2i+j)$ - элементы пандиагонального квадрата.

Теперь берём квадрат Стенли 11-го порядка, который представил Andersen, применяем к нему указанное преобразование и получаем пандиагональный квадрат из простых чисел с магической константой 18191. Очень хороший квадрат! Лучший в мире

Сейчас применю преобразование и выложу готовый пандиагональный квадрат 11-го порядка из простых чисел (автор квадрата Andersen).

-- Вс мар 31, 2013 16:31:52 --

Вот он, красавец:

2243 1291 409 613 2851 2909 137 2819 1709 1129 2081
2531 1787 557 617 3499 3203 293 181 2551 1741 1231
2111 2663 1303 601 631 3373 3659 167 179 2267 1237
1423 2549 2309 1307 647 859 3761 401 211 2971 1753
1987 2141 23 1861 709 661 3793 3671 359 197 2789
2311 1531 2579 2729 1319 839 877 4283 1151 241 331
3209 1999 2333 41 2383 1459 691 1153 4229 467 227
349 2833 2281 2609 89 1877 947 907 4703 1163 433
257 569 2557 2441 71 2803 1471 883 1171 4751 1217
541 379 3253 2293 2801 107 2399 1697 937 2063 1721
1229 449 587 3079 3191 101 163 2029 991 1201 5171

Мой квадрат по сравнению с этим такой безобразный (магическая константа равна 198341).
Зато у меня квадрат 13-го порядка лучше

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #703880 писал(а):

Вопрос так и повис в воздухе...

Блин этот вопрос в свое время подробно обсуждался. Все есть в статье Россера.

Теорема 3.1 Результат преобразования p.s. порядка n с помощью

T= |a c|
   |b d|

будет пандиагональным квадратом, если abcd(a^2-b^2)(c^2-d^2) взаимно просто с n.

[Nataly-Mak]

Пожалуйста, не расстраивайтесь.

Дело в том, что "в своё время" не было построено ни одного (!) пандиагонального квадрата порядков 17 и 19 из простых чисел.
Поэтому и не мог обсуждаться вопрос, какое преобразование для этого использовать.
Вы привели теорему в общем виде. Мне это ничего не говорит!
Мне нужно конкретное преобразование, которое вы применили. Это трудно сказать?
Ну, если трудно, не говорите. Я сама как-нибудь выясню, без вашей помощи.

Вы привели матрицу преобразования. У меня по этой матрице не получаются конкретные значения элементов квадрата. Может, я что-то не так считаю.
Хотелось бы видеть не матрицу, а формулу преобразования (как я привела для квадратов 11-го порядка).

[Pavlovsky]

Nataly-Mak в сообщении #704284 писал(а):

Мне нужно конкретное преобразование, которое вы применили. Это трудно сказать?
Ну, если трудно, не говорите.

Хм. Я уже писал. Я применял матрицу преобразований:
1 2
3 1

Эта матрица подходит для любого n, являющегося простым числом.

-- Пн апр 01, 2013 15:52:00 --

Nataly-Mak в сообщении #704284 писал(а):

Вы привели матрицу преобразования. У меня по этой матрице не получаются конкретные значения элементов квадрата.

Уже не помню всех ньюансов, вроде при написании кода немного напутал. Поэтому может получилась матрица.
1 3
2 1

[Nataly-Mak]

Бабка надвое сказала: то ли дождь, то ли снег (всё одно мокро).
Формулу преобразования можете привести? Или нюансы вспомнить невозможно?

[Nataly-Mak]

Квадраты Стенли из чисел Смита...
Очень много сил потратила на построение квадрата Стенли 6-го порядка из чисел Смита с минимальным индексом.
Но так и не убедилась в том, что построенный мной квадрат имеет минимальный индекс (30885).

Andersen пишет в головоломке 681:

Цитата:

It appears from a Google translation that (6,30885) wasn't known to be
minimal. The minimal d=7 for Smith numbers is
(7,87643): (454,1642,2038,5674,5935,20362,24214)
+ (0,180,1404,2160,3600,3960,16020)

Он тоже переводит. Он переводит меня, а я перевожу его
Что он говорит о моём квадрате с индексом 30885? Неизвестно, минимальный ли это индекс?
Да, неизвестно. Я это не доказала.
Далее, как я понимаю, Andersen пишет, что он нашёл квадрат Стенли 7-го порядка с минимальным индексом 87643.
Это здорово!
Я искала квадраты Стенли 7-го порядка из чисел Смита давно, когда пыталась построить пандиагональный квадрат из смитов методом Россера. Такие квадраты у меня очень плохо почему-то получались.
Вот квадрат с самым маленьким индексом, построенный мной:

58 121 382 562 23818 37678 54418
202 265 526 706 23962 37822 54562
454 517 778 958 24214 38074 54814
1858 1921 2182 2362 25618 39478 56218
16222 16285 16546 16726 39982 53842 70582
180022 180085 180346 180526 203782 217642 234382
381298 381361 381622 381802 405058 418918 435658

S=696745
Безобразно большой индекс.
(из статьи http://www.natalimak1.narod.ru/pannetr1.htm)

Это квадрат 7-го порядка из чисел Смита, который нашёл Andersen:

Цитата:

Minimal (7,87643)
(0,180,1404,2160,3600,3960,16020)

454 634 1858 2614 4054 4414 16474
1642 1822 3046 3802 5242 5602 17662
2038 2218 3442 4198 5638 5998 18058
5674 5854 7078 7834 9274 9634 21694
5935 6115 7339 8095 9535 9895 21955
20362 20542 21766 22522 23962 24322 36382
24214 24394 25618 26374 27814 28174 40234

[Nataly-Mak]

Andersen доказал минимальность индекса (18191) квадрата Стенли 11-го порядка из простых чисел!
Итак, наименьший регулярный пандиагональный квадрат 11-го порядка из простых чисел построен. Теперь вопрос остаётся о нерегулярных пандиагональных квадратах.

Хочу показать связь квадратов Стенли с нетрадиционными совершенными магическими квадратами.
Но прежде определю ассоциативные квадраты Стенли.

Определение: антимагический квадрат Стенли называется ассоциативным, если сумма любых двух элементов квадрата, симметрично расположенных относительно центра квадрата, равна одному и тому же числу.

Эту сумму будем называть константой ассоциативности квадрата Стенли.
Тут всё аналогично ассоциативным магическим квадратам.

Пример ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка из простых чисел:

149 769 1069 2309 2609 3229
863 1483 1783 3023 3323 3943
2711 3331 3631 4871 5171 5791
4139 4759 5059 6299 6599 7219
5987 6607 6907 8147 8447 9067
6701 7321 7621 8861 9161 9781

Константа ассоциативности этого квадрата Стенли равна 9930.

Далее покажу, как из этого ассоциативного квадрата Стенли можно построить совершенный магический квадрат 6-го порядка.

Примечание: требование ассоциативности делает квадрат Стенли обратимым квадратом. Обратимые квадраты - это квадраты, используемые при построении классических совершенных магических квадратов. Классические совершенные квадраты существуют только для порядков n=4k, k=1,2,3,...
А нетрадиционные совершенные квадраты существуют для всех чётных порядков.
Далее покажу совершенные квадраты порядков 6 и 8 из простых чисел, которые мне удалось построить.

Замечу: иногда я пишу "антимагические квадраты Стенли". Это полное название рассматриваемого класса квадратов. Чаще применяется сокращённое название - "квадраты Стенли". Чтобы не было сомнений и разночтений: это одни и те же квадраты.

[Nataly-Mak]

Кстати, смотрите головоломку "Most Perfect Magic Squares"

Начну тогда уж с совершенного квадратов 4-го порядка.
Это ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка с индексом 240 из простых чисел:

7 13 31 37
17 23 41 47
73 79 97 103
83 89 107 113

Константа ассоциативности этого квадрата равна 120.
Это полученный из него совершенный магический квадрат с минимальной магической константой 240 (построен мной):

7 107 23 103
89 37 73 41
97 17 113 13
47 79 31 83 

Преобразование я буду давать в матричной форме.
Пусть ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка имеет матрицу:

a11 a12 a13 a14
a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34
a41 a42 a43 a44

Тогда полученный из этого квадрата совершенный магический квадрат будет иметь матрицу:

a11 a43 a22 a34
a42 a14 a31 a23
a33 a21 a44 a12
a24 a32 a13 a41

-- Ср апр 03, 2013 14:46:10 --

Можно сказать, что между ассоциативными квадратами Стенли чётного порядка и совершенными магическими квадратами того же порядка существует взаимнооднозначное соответствие (точно так же, как между обратимыми квадратами и классическими совершенными магическими квадратами).
Поскольку совершенный квадрат 4-го порядка из простых чисел с магической константой 240 наименьший, то и соответствующий ему ассоциативный квадрат Стенли имеет минимальный индекс 240.

[Заметим, что не ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка имеет минимальный индекс 150.]

Ещё пример для порядка 4.
Это ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка с индексом 252:

13 23 73 83
19 29 79 89
37 47 97 107
43 53 103 113

Применим к этому квадрату показанное выше матричное преобразование и получим совершенный квадрат с магической константой 252:

13 103 29 107
53 83 37 79
97 19 113 23
89 47 73 43

[Nataly-Mak]

Переходим к квадратам 6-го порядка.

Это ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом 29790 (повторяю):

149 769 1069 2309 2609 3229
863 1483 1783 3023 3323 3943
2711 3331 3631 4871 5171 5791
4139 4759 5059 6299 6599 7219
5987 6607 6907 8147 8447 9067
6701 7321 7621 8861 9161 9781

Константа ассоциативности этого квадрата равна 9930.

Теперь с помощью матричного преобразования (показано ниже) превратим данный ассоциативный квадрат Стенли в соверешнный магический квадрат:

149 9161 2309 6701 2609 8861
9067 1483 6907 3943 6607 1783
4139 5171 6299 2711 6599 4871
3229 7321 1069 9781 769 7621
5987 3323 8147 863 8447 3023
7219 3331 5059 5791 4759 3631

Магическая константа квадрата S=29790.

Тут у меня проблема. Я не уверена, что это наименьший совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел.
Кто может построить совершенный квадрат 6-го порядка из простых чисел с меньшей магической константой

Понятно, что для этого надо построить ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел с индексом меньше, чем 29790. Существует ли такой квадрат?
Замечу, что не ассоциативный квадрат Стенли 6-го порядка из простых чисел имеет минимальный индекс 774.

Пусть матрица ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка имеет вид:

a11 a12 a13 a14 a15 a16
a21 a22 a23 a24 a25 a26
a31 a32 a33 a34 a35 a36
a41 a42 a43 a44 a45 a46
a51 a52 a53 a54 a55 a56
a61 a62 a63 a64 a65 a66

Тогда совершенный квадрат, полученный из данного квадрата Стенли, будет иметь следующую матрицу:

a11 a65 a14 a61 a15 a64
a56 a22 a53 a26 a52 a23
a41 a35 a44 a31 a45 a34
a16 a62 a13 a66 a12 a63
a51 a25 a54 a21 a55 a24
a46 a32 a43 a36 a42 a33

[Nataly-Mak]

Продолжу...

Это ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка из простых чисел с индексом 24024:

19 83 1019 1583 3229 3793 4729 4793
103 167 1103 1667 3313 3877 4813 4877
499 563 1499 2063 3709 4273 5209 5273
523 587 1523 2087 3733 4297 5233 5297
709 773 1709 2273 3919 4483 5419 5483
733 797 1733 2297 3943 4507 5443 5507
1129 1193 2129 2693 4339 4903 5839 5903
1213 1277 2213 2777 4423 4987 5923 5987

Константа ассоциативности этого квадрата равна 6006.

Точно так же из этого квадрата получается совершенный магический квадрат с магической константой 24024.
Не буду это показывать, смотрите статью "Нетрадиционные совершенные квадраты".

Здесь та же проблема, что и для совершенного квадрата 6-го порядка: не установлено, является ли построенный квадрат с магической константой 24024 наименьшим.

Итак, задача:
построить ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка из простых чисел с индексом S<24024.

Я не знаю, имеет ли задача решение.
Отмечу: если верить Andersen'у, не ассоциативный квадрат Стенли 8-го порядка из простых чисел имеет минимальный индекс 3036.

[Nataly-Mak]

Асооциативный квадрат Стенли 10-го порядка из простых чисел мне построить не удалось.
Соответственно нет и совершенного квадрата 10-го порядка.
Это ещё одна задача.

[Nataly-Mak]

С трудом отхожу после конкурса программистов
Никак не заставлю себя начать работать с квадратами Стенли.

На повестке дня построение ассоциативных квадратов Стенли чётного порядка из простых чисел.
Такие квадраты нужны мне для построения совершенных магических квадратов.

Этот квадрат Стенли 2-го порядка из простых чисел с минимальным индексом S=16

3 5
11 13

является ассоциативным.
Ну, в совершенный магический квадрат данный квадрат не превращается, так как магических квадратов 2-го порядка вообще не существует.

Ассоциативный квадрат Стенли 4-го порядка из простых чисел с минимальным индексом S=240 показан выше. Ему соответствует совершенный квадрат 4-го порядка с наименьшей магической константой S=240.

Теперь передо мной стоит задача построения ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка из простых чисел с минимальным индексом. У меня есть такой квадрат с индексом 29790 (показан выше).

Я ещё не писала программу для построения ассоциативных квадратов Стенли.
Интересно: ассоциативные квадраты Стенли строить проще или сложнее, чем обычные квадраты Стенли?

Так, надо начинать работать

Приглашаю всех форумчан к решению поставленной задачи.

[Nataly-Mak]

Начала, наконец-то, работать
В первый же день удивительное открытие.
Написала программу построения ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка из простых чисел. Сразу же построила по этой программе такой квадрат с индексом S=9900:

29 43 499 1523 1979 1993
383 397 853 1877 2333 2347
593 607 1063 2087 2543 2557
743 757 1213 2237 2693 2707
953 967 1423 2447 2903 2917
1307 1321 1777 2801 3257 3271

Очень обрадовалась, но... рано.
Превращаю с помощью показанного выше преобразования этот квадрат в совершенный квадрат:

29 3257 1523 1307 1979 2801
2917 397 1423 2347 967 853
743 2543 2237 593 2693 2087
1993 1321 499 3271 43 1777
953 2333 2447 383 2903 1877
2707 607 1213 2557 757 1063

И... с удивлением обнаруживаю, что этот квадрат не магический! Нет одинаковых сумм ни в строках, ни в столбцах. Хотя квадрат обладает свойством пандиагональности и всеми свойствами совершенного квадрата.
Вот такое открытие. Оказывается: между ассоциативными квадратами Стенли 6-го порядка и совершенными магическими квадратами 6-го порядка нет взаимнооднозначного соответствия.
Не знаю, как обстоит дело с квадратами порядка 4. Думаю, что для квадратов порядка 4 такое соответствие есть, но не утверждаю.
Сейчас меня занимают квадраты порядка 6, так как для порядка 4 ассоциативный квадрат Стенли с минимальным индексом (240) и соответствующий ему совершенный магический квадрат найдены.
[Hапомню, что речь сейчас идёт о квадратах из простых чисел.]

Итак, чтобы из ассоциативного квадрата Стенли 6-го порядка получить совершенный магический квадрат, надо наложить на квадрат Стенли какие-то дополнительные условия. Пока не знаю, что это за условия.
Накладываю одно условие. Получаю новый ассоциативный квадрат Стенли с тем же индекслм S=9900:

71  211  337  617  743  883 
281  421  547  827  953  1093 
1061  1201  1327  1607  1733  1873 
1427  1567  1693  1973  2099  2239 
2207  2347  2473  2753  2879  3019 
2417  2557  2683  2963  3089  3229 

С помощью преобразования превращааю этот квадрат в совершенный:

71 3089 617 2417 743 2963
3019 421 2473 1093 2347 547
1427 1733 1973 1061 2099 1607
883 2557 337 3229 211 2683
2207 953 2753 281 2879 827
2239 1201 1693 1873 1567 1327

Теперь в квадрате есть одинаковые суммы в строках, но нет одинаковых сумм в столбцах.
Во всех диагоналях, как главных, так и разломанных, одинаковые суммы есть. Все свойства совершенного квадрата выполняются.
Накладываю ещё одно условие на ассоциативный квадрат Стенли. Прогоняю программу с этим условием (для того же индекса) и... решения не нахожу.

Очень интересные факты.
Продолжаю исследования.

P.S. Вроде ассоциативные квадраты Стенли строить проще, чем обычные. В программе получилось всего 6 независимых переменных (при фиксированном индексе).