помогите подсчитать линейные подпространства

[Sonic86]

voipp в сообщении #703100 писал(а):

Я тоже так думал, пока, прочитав учебник, не снизошло ко мне приведение - метод гаусса надо применять к строкам , если столбцы этой матрицы - базис. Базис, при методе гаусса к строкам, не меняет положения а значит , столбцы в базисном миноре есть линейно независимые

Не, читайте лучше это:

iifat в сообщении #702907 писал(а):

Что-то мне моё революционное чутьё упорно и назойливо твердит, что подпространство как раз будет ровно одно.

[VladimirKr]

Можно найти количество базисов подпространств, образующих прямую сумму с $U$:

Линейнонезависимую систему векторов $(a_1,...,a_{n-m})$, образующую дополнение $U$ до $V$ будем выбирать так:
Каждый следующий вектор $a_i$ не должен лежать в подпространстве, образованном подпространством $U$ и сиcтемой
$(a_1,...,a_{i-1})$ векторов, выбранных на предыдущих шагах.
Количество $i$-го выбора: $q^n-q^{m+(i-1)}$

Количество базисов подпространств, образующих прямую сумму с $U$:

$$W(q,n,m)=\prod\limit_{i=1}^{n-m}(q^n-q^{m+(i-1)})$$

Но, подпространств меньше, чем базисов. Нужно разделить общее количество базисов $W(q,n,m)$ на число эквиваленных (т. е. лежащих в одном подпространстве). А эквивалентных базисов ровно столько, сколько невырожденных матриц размерности $(n-m)$. Наверно попропросят доказать . Это известная величина и, кстати, равна $W(q,n-m,0)$

[voipp]

VladimirKr в сообщении #703341 писал(а):

Можно найти количество базисов подпространств, образующих прямую сумму с $U$:

Линейнонезависимую систему векторов $(a_1,...,a_{n-m})$, образующую дополнение $U$ до $V$ будем выбирать так:
Каждый следующий вектор $a_i$ не должен лежать в подпространстве, образованном подпространством $U$ и сиcтемой
$(a_1,...,a_{i-1})$ векторов, выбранных на предыдущих шагах.
Количество $i$-го выбора: $q^n-q^{m+(i-1)}$

Количество базисов подпространств, образующих прямую сумму с $U$:

$$W(q,n,m)=\prod\limit_{i=1}^{n-m}(q^n-q^{m+(i-1)})$$

Но, подпространств меньше, чем базисов. Нужно разделить общее количество базисов $W(q,n,m)$ на число эквиваленных (т. е. лежащих в одном подпространстве). А эквивалентных базисов ровно столько, сколько невырожденных матриц размерности $(n-m)$. Наверно попропросят доказать . Это известная величина и, кстати, равна $W(q,n-m,0)$

Возьмем невырожденную матрицу размера $n$ строк на $(n-m)$ столбцов. Ее столбцы есть базис подпространства. Если подсчитать количество таких матриц , то получим кол-во базисов подпространства. Но по-мойму их количество не равно кол-ву невырожденных матриц размерностью $(n-m)$. Докажите пожалуйста)

[iifat]

Нижеследующее -- никоим образом не доказательство, просто иллюстрация.
Возьмём похожую задачу в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть, например, U -- ось $OZ$. Тогда возможные варианты $W$ -- плоскости, проходящие через $O$, и не содержащие $U$.
Возьмём произвольную такую плоскость. Например, $XOY$, а на ней -- произвольный же базис, к примеру, $\vec i, \vec j$.
Любой паре точек $\vec{z_1},\vec{z_2}$ из $U$ соответствует единственная наша плоскость -- она порождается базисом $(\vec i+\vec{z_1}, \vec j+\vec{z_2})$
Любой из наших плоскостей соответствует очевидным образом пара точек из $U$: поскольку равенства $\vec i = \vec {w_1}+\vec{z_1}, \vec j = \vec {w_2}+\vec{z_2}$ имеют, и при том, единственное решение, $-\vec{z_1}, -\vec{z_2}$ -- искомая пара.
Следовательно, множество дополняющих плоскостей изоморфно множеству пар точек нашей прямой.
Подозреваю, окончательный вывод можно распространить и на случай исходной задачи.

[VladimirKr]

Цитата:

Возьмем невырожденную матрицу размера $n$ строк на $(n-m)$ столбцов. Ее столбцы есть базис подпространства. Если подсчитать количество таких матриц , то получим кол-во базисов подпространства. Но по-мойму их количество не равно кол-ву невырожденных матриц размерностью $(n-m)$. Докажите пожалуйста)

Линейные пространства одинаковой размерности над одиним и тем же полем изоморфны. Перейдем к векторам размерности $n-m$. Ну и к квадратным матрицам... Ч.т.д.

[voipp]

VladimirKr в сообщении #704245 писал(а):

Цитата:

Возьмем невырожденную матрицу размера $n$ строк на $(n-m)$ столбцов. Ее столбцы есть базис подпространства. Если подсчитать количество таких матриц , то получим кол-во базисов подпространства. Но по-мойму их количество не равно кол-ву невырожденных матриц размерностью $(n-m)$. Докажите пожалуйста)

Линейные пространства одинаковой размерности над одиним и тем же полем изоморфны. Перейдем к векторам размерности $n-m$. Ну и к квадратным матрицам... Ч.т.д.

спасибо, понял!)