Нижеследующее -- никоим образом не доказательство, просто иллюстрация.
Возьмём похожую задачу в трёхмерном евклидовом пространстве. Пусть, например, U -- ось

. Тогда возможные варианты

-- плоскости, проходящие через

, и не содержащие

.
Возьмём произвольную такую плоскость. Например,

, а на ней -- произвольный же базис, к примеру,

.
Любой паре точек

из

соответствует единственная наша плоскость -- она порождается базисом

Любой из наших плоскостей соответствует очевидным образом пара точек из

: поскольку равенства

имеют, и при том, единственное решение,

-- искомая пара.
Следовательно, множество дополняющих плоскостей изоморфно множеству пар точек нашей прямой.
Подозреваю, окончательный вывод можно распространить и на случай исходной задачи.