Система аксиом Цермело-Френкеля

[mark_sandman]

Цитата:

Какие элементы в первом множестве и какие во втором?

В первом - 1, 2, 3.
Во втором - 2.
Пересечение - 2.

[arseniiv]

Это в $\{\{1\},\{2\},\{3\}\}$ и $\{2\}$-то?

Нет, во втором, конечно, элемент 2. Но в первом нет элементов 1, 2, 3.

Давайте попробуем ещё раз. А ещё скажите, зачем вам так хочется, чтобы $\{a\} = a$. Если это добавить, теория станет противоречивой.

[mark_sandman]

Так в моём видении она и является противоречивой. Иначе я не задавал бы вопросов.

Мне не хочется, чтобы $\[\{ a\} = a\] $ . Просто я не могу представить себе, чтобы было иначе.

Множество из одного элемента и этот элемент суть одно и то же, из аксиомы экстенсиональности. Два множества равны, если состоят из одних и тех же элементов. Доказал в ZFC обратное Не?

[ИСН]

Вернитесь на первый этап, где пустые коробки в коробках.

[mark_sandman]

Цитата:

Вернитесь на первый этап, где пустые коробки в коробках.

С радостью Есть коробка и в ней лежат три пустых коробки. Каждая из этих пустых коробок имеет непустое пересечение с коробкой, в которой они лежат Это пересечение представляет собой не что иное как данную пустую коробку

Я в упор не вижу ошибку в своих рассуждениях, но в то же время не сомневаюсь, что она там есть

[arseniiv]

mark_sandman в сообщении #703678 писал(а):

Множество из одного элемента и этот элемент суть одно и то же,

Это переписывается как $\forall a\mathrel.\forall m\left(\forall c\mathrel. c\in m \leftrightarrow a = c\right) \rightarrow m = a$.

(То, что в скобках, означает $m = \{a\}$.)

Цитата:

из аксиомы экстенсиональности.

Приведите её (она есть на предыдущей странице), будем разбирать, как из неё следует верхнее.

mark_sandman в сообщении #703682 писал(а):

Каждая из этих пустых коробок имеет непустое пересечение с коробкой, в которой они лежат

В пустой коробке нет элементов, и пересечение её с чем угодно потому пусто. Вы же знаете, как определяется пересечение, или не совсем?

[mark_sandman]

arseniiv

Для меня не очевидно, что то, что в скобках означает

Цитата:

$\[m = \{ a\} \]$

:|

Аксиома экстенсиональности

$\[\forall x\forall y[\forall z(z \in x \Leftrightarrow z \in y) \Rightarrow x = y]\]$

Не знаю как формально получить из неё моё утверждение

Кажется, кое-что начинает проясняться.


Вопрос такой: содержит ли множество $\[\{ \emptyset \} \]$
хотя бы один элемент?

[arseniiv]

Да. Ровно один, $\varnothing$.

$s = \{a_1,\ldots,a_n\}$ — это сокращение для $\forall x\mathrel. x\in s \leftrightarrow x = a_1 \vee \ldots \vee x = a_n$.

[mark_sandman]

arseniiv
Всё прояснилось, огромное спасибо за помощь Значит, множество 2 не содержит 2 в качестве своего элемента Именно по аксиоме регулярности. И в общем случае из аксиомы регулярности следует, что $\[\{ a\} \ne a\]$. Верно?

[arseniiv]

Из неё следует ещё, что нельзя найти такие $a_1, \ldots, a_n$, что $a_1\in a_2\in \ldots\in a_n\in a_1$, если не ошибаюсь. Точно без неё не обходится.

[Someone]

,А также, что не существует бесконечной последовательности $a_0\ni a_1\ni a_2\ni a_3\ni\ldots$.
Если бы такая последовательность существовала, то множество $\{a_k:k\in\mathbb N\}$ (существует по аксиоме подстановки) не удовлетворяло бы аксиоме регулярности.
Точно так же, если $a_1\in a_2\in\ldots\in a_n\in a_1$, то $\{a_1,a_2,\ldots a_n\}$ не удовлетворяет аксиоме регулярности (в том числе и при $n=1$).
Ну и, конечно, если $\{a\}=a$, то $a\in a$, что невозможно в силу сказанного выше.

Кстати, обойтись без аксиомы регулярности вполне можно (К.Куратовский, А.Мостовский в своей книге "Теория множеств" прекрасно без этой аксиомы обходятся). Тогда возможны такие казусы, как $\{a\}=a$, но только не для любых $a$. Например, для $a=\varnothing$ обязательно $\{a\}\neq a$, так как $a$ не содержит ни одного элемента (это же мы пустое множество так обозначили), а $\{a\}$ содержит один элемент - $a$. Занятно, что, пользуясь аксиомами ZFC без аксиомы регулярности, мы не сможем построить такое множество $a$, чтобы было $a\in a$ (по тривиальной причине: если бы это было возможно, то ZFC была бы противоречива; более того, доказано, что если противоречие можно получить, используя аксиому регулярности, то его можно получить и без аксиомы регулярности). Если мы непременно хотим иметь такое множество, нам придётся явным образом сформулировать аксиому существования.