Система аксиом Цермело-Френкеля

[mark_sandman]

Есть несколько элементарных вопросов по аксиоматике ZFC.

1. Правильно ли я понимаю, что никакие объекты кроме множеств в этих аксиомах не фигурируют? Если так, тогда операции включения и принадлежности суть одно и то же? Тогда зачем вводятся два разных специальных знака? Кстати, почему операция принадлежности считается нульарной, ведь там участвует как минимум два операнда: элемент и множество, к которому он принадлежит?
2. Понимаю аксиому пары, но не могу понять следующее за ней определение упорядоченной пары. Вот как я вижу это определение: упорядоченная пара есть пара, состоящая из двух пар, первая из которых содержит два одинаковых элемента, а вторая два разных, которые и объединяются упорядоченной парой. Каким образом при таком определении пара "упорядочивается" для меня к сожалению остаётся загадкой.

На самом деле вопросов гораздо больше, для начала интересно было бы узнать ответы на эти два

Также очень интересуюсь, где можно найти подробное изложение концепции математических теорий (кроме первого тома Бурбаки). При знакомстве с их "Теорией множеств" у меня складывается впечатление, что иногда Бурбаки сознательно не придают словам смысл. Например, они пишут, что иногда знаки математической теории называют реляционными, иногда субстантивными, но при этом не дают ни малейшего намёка на определение этих терминов. Также, не совсем понимаю их
идеи о том, что знакосочетание может не содержать букв. Какой тогда смысл имеет это знакосочетание?

Хотелось бы подробнее познакомиться с этим понятийным аппаратом. В списке литературы у Бурбаки только их собственные сочинения

[ИСН]

Два знака ($\in\text{ и }\subset$) у нас затем, что обычно-то можно различить по контексту, но потом приходят множества, элементами которых являются... другие множества. И с ними никак.

-- Ср, 2013-03-20, 00:38 --

Что же касается Бурбаков, то так я их люблю, а читать - нет.

[Xaositect]

Посмотрите учебник Колмогоров, Драгалин "Математическая логика"

mark_sandman в сообщении #698486 писал(а):

1. Правильно ли я понимаю, что никакие объекты кроме множеств в этих аксиомах не фигурируют?

Да

Цитата:

Если так, тогда операции включения и принадлежности суть одно и то же?

Нет. Принадлежность - это принадлежность элемента множеству. Включение - это включение подмножества в множество. Например, если мы возьмем множество $x = \{a, b, c\}$ из каких-нибудь трех элементов, то $a\in x$, $b\in x$, $c\in x$, $\varnothing\subset x$, $\{a\}\subset x$, $\{b\}\subset x$, $\{c\}\subset x$, $\{a, b\}\subset x$, $\{a, c\}\subset x$, $\{b, c\}\subset x$, $x\subset x$. Кстати, знак $\subset$ вводится для удобства, а на самом деле строка $x\subset y$ - это сокращение для формулы $\forall a (a\in x\Rightarrow a\in y)$.

Цитата:

Кстати, почему операция принадлежности считается нульарной, ведь там участвует как минимум два операнда: элемент и множество, к которому он принадлежит?

Принадлежность - это не операция, а отношение, но, действительно, бинарное.

mark_sandman в сообщении #698486 писал(а):

2. Понимаю аксиому пары, но не могу понять следующее за ней определение упорядоченной пары. Вот как я вижу это определение: упорядоченная пара есть пара, состоящая из двух пар, первая из которых содержит два одинаковых элемента, а вторая два разных, которые и объединяются упорядоченной парой. Каким образом при таком определении пара "упорядочивается" для меня к сожалению остаётся загадкой.

Тут надо понять, чего мы хотим от понятия упорядоченной пары. А хотим мы на самом деле вот чего: одинаковые пары имеют одинаковые соответствующие элементы, а разные пары хотя бы в одной координате различаются. Формально: $(a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d$. Вот именно это свойство и говорит, что есть первый элемент, и есть второй, и при сравнении пар их надо сравнивать в нужном порядке. Попробуйте доказать его сами.
Кстати, "пара" у Бурбаки в гл.II §2 - это упорядоченная пара.

mark_sandman в сообщении #698486 писал(а):

Также очень интересуюсь, где можно найти подробное изложение концепции математических теорий (кроме первого тома Бурбаки). При знакомстве с их "Теорией множеств" у меня складывается впечатление, что иногда Бурбаки сознательно не придают словам смысл. Например, они пишут, что иногда знаки математической теории называют реляционными, иногда субстантивными, но при этом не дают ни малейшего намёка на определение этих терминов. Также, не совсем понимаю их
идеи о том, что знакосочетание может не содержать букв. Какой тогда смысл имеет это знакосочетание?

В более распространенной терминологии знакосочетание называется строкой, реляционные знаки - предикатными символами, а субстантивные - функциональными символами. Предикатные символы позволяют получать из термов утверждения, а функциональные - новые термы.

[Doil-byle]

mark_sandman в сообщении #698486 писал(а):

не могу понять следующее за ней определение упорядоченной пары. Вот как я вижу это определение: упорядоченная пара есть пара, состоящая из двух пар, первая из которых содержит два одинаковых элемента, а вторая два разных, которые и объединяются упорядоченной парой. Каким образом при таком определении пара "упорядочивается" для меня к сожалению остаётся загадкой.

Я знаю следующее определение упорядоченной пары: $(x,y)=\{\{x\}\{xy\}\}$. Далее определяются координаты:
$coord_1=\bigcap \bigcap (x,y)$ $coord_2 = (\bigcap \bigcup (x,y)) \cup ((\bigcup \bigcup (x,y)) \diagdown \bigcup \bigcap (x,y))$. Потом доказываем, что $coord_1=x$, $coord_2 =y$. Тот факт, что пара упорядочивается проявляется в том, что $(x,y)=(u,v) \Leftrightarrow (x=u \wedge y=v)$

[mark_sandman]

Xaositect
Doil-byle
ИСН
Огромное спасибо за ответы, многое прояснилось

Цитата:

Принадлежность - это не операция, а отношение, но, действительно, бинарное.

Тогда как понимать такое определение:

Цитата:

С точки зрения общей алгебры нейтральный элемент и обратный элемент входят в
сигнатуру группы. Это значит, что на самом деле группа представляет собой множество с тремя операциями: обычной бинарной операцией умножения ; унарной операцией взя-
тия обратного элемента ; и нульарной операцией $e ∈ G$. Чтобы
подчеркнуть это, иногда обозначают группу как $(G,mult, inv, e)$.

Николай Вавилов "Конкретная теория групп" с. 33-34

Цитата:

Далее определяются координаты: $coord_1=\bigcap \bigcap (x,y)$ $coord_2 = (\bigcap \bigcup (x,y)) \cup ((\bigcup \bigcup (x,y)) \diagdown \bigcup \bigcap (x,y))$$coord_1=\bigcap \bigcap (x,y)$ $coord_2 = (\bigcap \bigcup (x,y)) \cup ((\bigcup \bigcup (x,y)) \diagdown \bigcup \bigcap (x,y))$">

Сколько я не пытался, так и не смог понять вашу выкладку Во-первых, не ясно, что означают два знака объединения/пересечения, написанные подряд. Во-вторых, не понимаю, чем мотивировано само определение координат упорядоченной пары. Как пара упорядочивается мне ясно и определение, данное Бурбаки тоже ясно Теперь очень хотелось бы разобраться именно с вашим определением

[Xaositect]

Цитата:

Цитата:

Принадлежность - это не операция, а отношение, но, действительно, бинарное.

Тогда как понимать такое определение:

Цитата:

С точки зрения общей алгебры нейтральный элемент и обратный элемент входят в
сигнатуру группы. Это значит, что на самом деле группа представляет собой множество с тремя операциями: обычной бинарной операцией умножения ; унарной операцией взя-
тия обратного элемента ; и нульарной операцией $e \in G$. Чтобы
подчеркнуть это, иногда обозначают группу как $(G,mult, inv, e)$.

Николай Вавилов "Конкретная теория групп" с. 33-34

Тут операция не $\in$, а $e$. Например, в группе целых чисел бинарной операцией будет $+$, унарной - $-$ (взятие противоположного), а нульарной - $0$.

Цитата:

Цитата:

Далее определяются координаты: $coord_1=\bigcap \bigcap (x,y)$ $coord_2 = (\bigcap \bigcup (x,y)) \cup ((\bigcup \bigcup (x,y)) \diagdown \bigcup \bigcap (x,y))$$coord_1=\bigcap \bigcap (x,y)$ $coord_2 = (\bigcap \bigcup (x,y)) \cup ((\bigcup \bigcup (x,y)) \diagdown \bigcup \bigcap (x,y))$">

Сколько я не пытался, так и не смог понять вашу выкладку Во-первых, не ясно, что означают два знака объединения/пересечения, написанные подряд. Во-вторых, не понимаю, чем мотивировано само определение координат упорядоченной пары. Как пара упорядочивается мне ясно и определение, данное Бурбаки тоже ясно Теперь очень хотелось бы разобраться именно с вашим определением

$\cup x$ - это объединение всех элементов $x$. Например, $\cup \{\{0\}, \{0,1\}, \{2\}, \{11\}\} = \{0,1,2,11\}$

[Doil-byle]

mark_sandman в сообщении #698641 писал(а):

Сколько я не пытался, так и не смог понять вашу выкладку Во-первых, не ясно, что означают два знака объединения/пересечения, написанные подряд. Во-вторых, не понимаю, чем мотивировано само определение координат упорядоченной пары. Как пара упорядочивается мне ясно и определение, данное Бурбаки тоже ясно Теперь очень хотелось бы разобраться именно с вашим определением

$\cap x = \{z: \forall y$ $y \in x \Rightarrow z \in y \}$
$\cup x = \{z: \exists y$ $y \in x \wedge z\in y \}$
Если две штуковины стоят подряд, то вместо переменной после первой штуковины подставляете вторую штуковину и смотрите, что получается.

Вообще, правильнее сказать так: $coord_1 z =\cap \cap z$, $coord_2 z = (\cap \cup z) \cup ((\cup \cup z) \diagdown \cup \cap z)$. Вместо переменной $z$ подставляется, например, какое-то множество. При этом нам нужно подобрать такие формулы, чтобы при подстановке $\{ \{x \} \{xy\} \}$ в первую и вторую формулы, получалось $x$ и $y$, соответственно.

В смысле не понимаете, чем мотивировано само определение координат упорядоченной пары? Нужно же, например, в функции различать как-то аргумент и значение, или, допустим, различать координаты точки на евклидовой плоскости. Ежели вы по поводу определения, приведённого мной, то не знаю, есть ли более простые способы.
Интуитивно, $\cap x$ и $\cup x$ используются как какие-то инструменты, которые при определённом сочетании вырезают нужные координаты из $\{ \{x \} \{xy\} \}$.

[arseniiv]

mark_sandman в сообщении #698641 писал(а):

Во-вторых, не понимаю, чем мотивировано само определение координат упорядоченной пары.

Упорядоченная пара «хранит» в себе две какие-нибудь вещи. Вводя операцию $(\cdot,\cdot)$, мы можем теперь «собирать» пары. Логично бы уметь и разбирать. Вот для этого и нужны $\mathrm{coord}_1$ и $\mathrm{coord}_2$.
Вообще, от этих операций требуется только это: чтобы

$$\begin{array}{l} (a, b) = (c, d) \Leftrightarrow a = c \wedge b = d, \\ \mathrm{coord}_1 (a, b) = a, \\ \mathrm{coord}_2 (a, b) = b. \end{array}$$

Их можно определять как угодно, лишь бы выполнялись эти соотношения. Определения на основе $(a, b) = \{\{a\},\{a, b\}\}$ оказываются достаточно простыми в их доказательстве.

Если бы пары нельзя было представить множествами, пришлось бы вводить их как отдельную сущность и усложнять теорию. От определения пары только и требуется показать, что пары представимы множествами — хоть бы таким способом, хоть бы каким-то другим. Это важно, т. к. влечёт, что отношения и функции, упорядоченные последовательности любой конечной длины представимы множествами.

[mark_sandman]

С парами всё ясно. Теперь вызывает много вопросов аксиома регулярности:
$\[\forall x[\exists a(a \in x) \Rightarrow \exists y(y \in x \wedge \neg \exists z(z \in y \wedge z \in x))]\]$
Любое непустое множество содержит такой элемент, что пересечение элемента с множеством пусто.

Вызывает много вопросов. Не понимаю, как можно считать эту аксиому истинной. Например, рассмотрим конечное множество натуральных чисел $\[\{ 1,2,3\} \]$. В качестве элемента выберем 2. Очевидно, что пересечение 2 и множества непусто. Требование аксиомы не выполняется.

Далее, известно, что любое множество является своим собственным подмножеством. Как быть с этим? Получается, что аксиома требует, чтобы пересечение множества с самим собой было пусто?

[arseniiv]

mark_sandman в сообщении #703630 писал(а):

Очевидно, что пересечение 2 и множества непусто.

Не путайте $2$ и $\{2\}$.

Правда, при использовании одного распространённого определения натуральных чисел $2 = \{0, 1\}$ и пересекается с $\{1, 2, 3\}$, зато $1 = \{0\}$ не пересекается.

mark_sandman в сообщении #703630 писал(а):

Далее, известно, что любое множество является своим собственным подмножеством.

А ведь $a \subset b$ — не то же самое, что $a\in b$. Xaositect ведь в этой же теме выше писал об этом подробно, кстати.

[mark_sandman]

Я никак не могу увидеть отличие между $2$ и $\[\{ 2\} \]$ Разница в том, что 2 - это не множество, а $\[\{ 2\} \]$ - множество по аксиоме одноэлементного множества? Хорошо, тогда рассмотрим множество $\[\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} \] $ Пересечение $\[\{ 2\} \]$ и $\[\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} \] $ непусто

(Оффтоп)

К сожалению, не встречался с приведённым вами определением натуральных чисел, но если оно имеет место, то вы привели ещё один контрпример для этой аксиомы

Отличие между включением и принадлежностью для многоэлементных множеств очевидно. Но когда элемент в множестве один, то это есть одно и то же. Как быть тогда?

[g______d]

ИСН в сообщении #698494 писал(а):

потом приходят множества, элементами которых являются... другие множества. И с ними никак.

А разве что-то кроме множества может являться элементом множества?

[arseniiv]

mark_sandman в сообщении #703638 писал(а):

Разница в том, что 2 - это не множество, а $\[\{ 2\} \]$ - множество по аксиоме одноэлементного множества?

Нет, в ZFC нет не-множеств. 2 тоже должно быть множеством, но его можно определить по-разному, как и с упорядоченными парами.

mark_sandman в сообщении #703638 писал(а):

Пересечение $\[\{ 2\} \]$ и $\[\{ \{ 1\} ,\{ 2\} ,\{ 3\} \} \] $ непусто.

А если подумать?

Множества определяются ровно тем, что им принадлежит (об этом говорит аксиома $\forall a\mathrel.\forall b\mathrel. a = b \leftrightarrow \left(\forall c \mathrel. c\in a \leftrightarrow c\in b\right)$, определяющая предикат равенства. Запись $\{\ldots\}$ не должна отвлекать от этого факта ваш взгляд. Скобочки — чисто синтаксическое расширение.

-- Вс мар 31, 2013 00:28:59 --

g______d в сообщении #703642 писал(а):

А разве что-то кроме множества может являться элементом множества?

Есть теории, где объекты делятся на множества и атомарные, не являющиеся множествами.

[mark_sandman]

(Оффтоп)

Пересечение двойки с вышеозначенным множеством непусто и представляет собой множество из одного элемента - двойки. Я не знаю, как нужно думать, чтобы считать его пустым. Именно поэтому и задал вопрос по аксиоме регулярности

[arseniiv]

mark_sandman в сообщении #703638 писал(а):

К сожалению, не встречался с приведённым вами определением натуральных чисел, но если оно имеет место, то вы привели ещё один контрпример для этой аксиомы

Какой контрпример? Где?

Кстати, я определения-то не привёл. Определение заключается в утверждениях $0 = \varnothing$ и $n' = n\cup \{n\}$ ($n'$ означает следующее за $n$ натуральное число). После этого аксиомы Пеано доказываются в ZFC.

Такое определение интересно тем, что аксиома бесконечности дарит нам как раз $\mathbb N$.

mark_sandman в сообщении #703638 писал(а):

Отличие между включением и принадлежностью для многоэлементных множеств очевидно. Но когда элемент в множестве один, то это есть одно и то же. Как быть тогда?

Не есть. Почему есть-то? Чем одноэлементные множества так выделены из остальных? Попробуйте как-нибудь доказать в ZFC $\forall a \mathrel. a \ne\{a\}$, оно верно.

-- Вс мар 31, 2013 00:37:47 --

mark_sandman в сообщении #703649 писал(а):

Пересечение двойки с вышеозначенным множеством непусто и представляет собой множество из одного элемента - двойки.

Давайте аккуратнее. Какие элементы в первом множестве и какие во втором?