Уравнение в натуральных числах

[DjD USB]

Решить уравнение в натуральных числах:

$$3^x+2=5^z$$

.
Я понял только то, что x и z нечетные. Если у них нод>1 то все хорошо. А если нет, то все плохо.

[SpBTimes]

$5^z$ оканчивается на 5.
$3^x$ оканчивается на $1, 3, 7, 9$. Может подходить только, если $x =4k - 1$.
$3^{4k} + 6 = 3 \cdot 5^z$
Теперь неплохо бы посмотреть остаток от деления, как мне кажется.

[DjD USB]

SpBTimes в сообщении #703033 писал(а):

$5^z$ оканчивается на 5.
$3^x$ оканчивается на $1, 3, 7, 9$. Может подходить только, если $x =4k - 1$.
$3^{4k} + 6 = 3 \cdot 5^z$
Теперь неплохо бы посмотреть остаток от деления, как мне кажется.

Вы ошиблись по моему. Степень тройки должна юыть равна $4k+1$ чтобы $3^x$ оканчивалось на 3.

-- Пт мар 29, 2013 16:22:47 --

И я не понял, остаток при делении на какое число надо посмотреть?

[nnosipov]

Уравнения такого вида неоднократно обсуждались, попробуйте поискать.

[DjD USB]

nnosipov в сообщении #703039 писал(а):

Уравнения такого вида неоднократно обсуждались, попробуйте поискать.

Помогите пожалуйста найти. У меня не получается что-то

[Shadow]

Решением уравнения Пелля $5u^2-3v^2=2$ является
$\\u: 1,7,8u_{n-1}-u_{n-2}\\ v: 1,9,8v_{n-1}-v_{n-2}$
Если v делится на 3, то u делится на 7 и не может быть степень пятерки

[nnosipov]

DjD USB в сообщении #703041 писал(а):

Помогите пожалуйста найти. У меня не получается что-то

Вот здесь есть ссылки: topic61711.html

[DjD USB]

А как находить решение уравнения Пелля?

[Shadow]

Кажется, можно и проще. По модулю 63 у нечетных степеней 5-ки остатки $5,62,38 $, а у степеней тройки $27,54,45$

[DjD USB]

Shadow в сообщении #703053 писал(а):

у степеней тройки $27,54,45$

И еще 3. Решение уравнение-то имеет.

[ex-math]

Shadow
А где можно посмотреть вид общего решения уравнения Пелля, когда правая часть не равна $\pm1$?
В частности, сколько будет серий "неэквивалентных" решений.

[Shadow]

DjD USB в сообщении #703054 писал(а):

И еще 3. Решение уравнение-то имеет.

Ну естествено, но только одна степень тройки дает остаток 3 - она и есть решение.
ex-math, я не знаю. Между тривиальным и первым решением по рекурентной формуле просто проверяю нет ли еще решений.

[nnosipov]

ex-math в сообщении #703055 писал(а):

В частности, сколько будет серий "неэквивалентных" решений.

Оценка сверху для произвольных норменных уравнений где-то в "Теории чисел" Боревича и Шафаревича есть.

[Sonic86]

ex-math в сообщении #703055 писал(а):

А где можно посмотреть вид общего решения уравнения Пелля, когда правая часть не равна $\pm1$? В частности, сколько будет серий "неэквивалентных" решений.

Еще есть в книге Хассе Теория чисел, в конце главы 4 параграфа 16 - но там просто перебор возможных частных решений уравнения $N(\mu)=m$ конкретно для уравнения Пелля (в Боревиче Шафаревиче более общо, конечно). А точное число серий неэквивалентных решений, видимо, уже связано с арифметикой кольца $\mathbb{Z}[\sqrt{d}]$.

[DjD USB]

Shadow в сообщении #703058 писал(а):

DjD USB в сообщении #703054 писал(а):

И еще 3. Решение уравнение-то имеет.

Ну естествено, но только одна степень тройки дает остаток 3 - она и есть решение.
ex-math, я не знаю. Между тривиальным и первым решением по рекурентной формуле просто проверяю нет ли еще решений.

Я немного не понимаю, как изначальное уравнение превратить в пелля?