Помогите книжками

[AnDe]

Здравствуйте, я ученик 11 класса, который увлекается математикой и который проводил все свои изучения крайне не систематично, не основательно, без должного старания. В итоге у меня достаточно неплоха развита математическая культура, но очень маленькая база конкретных теорий. Хочу исправить такое положение дел: приобрести познания во всех основных областях, базис от которого можно будет оттолкнуться.

Однако, не могу составить программу. В каком порядке и с чего лучше начать? В книгах люблю формализм, так что может быть с теории множеств. А потом куда? Аксиоматическое построение чисел. Или не так? Хотелось бы, чтобы была стройная цепочка знаний, но наверно в самые низы уходить не стоит, так можно и до философии математики дойти.

Всем кто что-нибудь подскажет, буду очень благодарен. И если это важно, то я собираюсь поступать на математический факультет.

[Chernoknizhnik]

Мне кажется, Вам лучше начать с чего-нибудь не слишком формального, чтобы больше проникнуться мотивировками в математике - изучите "Начала теории множеств" (Шень, Верещагин), "Геометрию" (Прасолов, Тихомиров). На мой взгляд, очень хорошее начало.

[мат-ламер]

AnDe в сообщении #701251 писал(а):

В итоге у меня достаточно неплоха развита математическая культура,

Интересно, у кого ещё (может из заслуженных участников) хватит смелости сказать о себе такое?

AnDe в сообщении #701251 писал(а):

В книгах люблю формализм, так что может быть с теории множеств. А потом куда? Аксиоматическое построение чисел.

Нечего себя ограничивать программами. Читайте, что интересно. Например,
если любите формализм и теорию чисел, то займитесь приложениями алгебраической геометрии к теории чисел. Ищите поисковиком http://libgen.info книгу Острика и Цфасмана на эту тему.
Дальше, на эту тему - Бугаенко. Уравнение Пелля. Параллельно осваивайте современную алгебру - Аршинов, Садовский - Грани алгебры. А, вообще, книг много. Расскажите, что Вы читали?

[Sonic86]

Я тоже предлагаю учить алгебру - вещь вполне сложная, обширная, многообразная, формализма там достаточно. Возьмите Кострикина, например, или Винберга (для любителей формализма - Ленг).
В противовес можно топологию добавить

[AnDe]

мат-ламер в сообщении #701302 писал(а):

Например,
если любите формализм и теорию чисел, то займитесь приложениями алгебраической геометрии к теории чисел.

Для того, чтобы заниматься взаимосвязью этих теорий, нужно понять каждую из них, а каждая из них в свою очередь опирается на свои теории (геометрия Евклида, алгебра и аксиоматическое построение чисел). Мне хотелось бы составить программу от некоторых базовых теорий до таких вот удаленных точек.

мат-ламер в сообщении #701302 писал(а):

Расскажите, что Вы читали?

В школе мы проходили дельта-эпсилон формализм, аксиоматики Гильберта и Пеано, поверхностно теорию множеств, математическую логику, аналитическую геометрию, комбинаторику, теорию вероятностей, теорию многочленов. Читал что-то сопутствующие. На вскидку Верещагина, Гильберта, Зорича, Виленкина.

Разумно ли начинать геометрию и теорию чисел с аксиоматик?
Например, как вариант можно взять программу Вербицкого. Что Вы о ней думаете?

[мат-ламер]

AnDe в сообщении #701353 писал(а):

Разумно ли начинать геометрию и теорию чисел с аксиоматик?Например, как вариант можно взять программу Вербицкого. Что Вы о ней думаете?

Программу Вербицкого посмОтрите, когда на третьем курсе выберете себе специализацию. Сейчас рано. Есть и противоположное (к Вербицкому) мнение , заключающееся в том, что сначала учащиеся должны знакомиться с конкретной математикой, а абстрактные вещи изучать позже. С аксиоматик я бы не стал начинать. Геометрию вообще лучше изучать после знакомства с линейной алгеброй. То что читали Зорича, достойно уважения. Однако большой кусок анализа из второго тома становится понятным после того, как станет ясным его приложения к физике. Но это моё ИМХО. Может у Вас абстрактный ум. Такой был у Профессора Снейпа. Он анализ по Шварцу учил и считал, что это лучший учебник.

[AnDe]

мат-ламер в сообщении #701375 писал(а):

Геометрию вообще лучше изучать после знакомства с линейной алгеброй.

Решил прочитать книгу Верещагина по теории множеств, потом что-нибудь по линейной алгебре, потом по геометрии. Хватит того, что дает Верещагин для полноценного изучения линейной алгебры? Книжка какая-то подозрительно небольшая)

мат-ламер в сообщении #701375 писал(а):

Он анализ по Шварцу учил и считал, что это лучший учебник.

И Вербицкий советует этот учебник.

[мат-ламер]

AnDe в сообщении #701762 писал(а):

И Вербицкий советует этот учебник

В предпочтениях книг много личного. Кому-то что-то нравится, кому-то не очень. Надо ориентироваться на себя.

AnDe в сообщении #701762 писал(а):

Хватит того, что дает Верещагин для полноценного изучения линейной алгебры?

Линейную алгебру можно изучать не имея знакомства с теорией множеств. Однако обобщение линейной алгебры на бесконечномерные пространства - функциональный анализ (это отдельная наука) требует знания теории множеств в объёме Верещагина.

[Doil-byle]

AnDe в сообщении #701251 писал(а):

В книгах люблю формализм, так что может быть с теории множеств. А потом куда? Аксиоматическое построение чисел.

Ага, у меня тоже так и было. Сначала захотелось с вещественными числами разобраться, а в той же книжке всё с аксиом Пеано выводилось, ну так я с них и начал. После и аксиоматическую теорию множеств изучил, где аксиомы Пеано все были выведены по ходу дела (как теоремы). Так кажется, что и матлогику теперь надо изучить, а то типа не всё понятно. Но надоело... не хочется отрываться от, как говорят некоторые дяди, концептуальной математики. Сейчас Винберга читаю.

Впрочем, теория множеств - это не только формализм. Она предоставляет язык и в ней же есть мощные теоремы, следствия из которых широко используются. Например, такая: $x \in C$ $\diagdown$ $\mathbb{N} \Rightarrow P(x \times x)=x$, где $C$ - класс всех кардинальных чисел (то есть речь идёт о бесконечных множествах).

мат-ламер в сообщении #701798 писал(а):

Однако обобщение линейной алгебры на бесконечномерные пространства - функциональный анализ (это отдельная наука) требует знания теории множеств в объёме Верещагина.

Так там же можно и без анализа о бесконечномерных векторных пространствах говорить.

P.S. "Анализ" Лорана Шварца скачал. Вроде бы великолепно - сразу вместе с топологией, общее такое современное изложение. Тоже, наверное, буду по нему анализ изучать.

[Doil-byle]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #701375 писал(а):

Может у Вас абстрактный ум. Такой был у Профессора Снейпа.

Помню, была речь о том, что AnDe -инкарнация Профессора Снэйпа. Но тогда Профессор Снэйп был жив... до сих пор горько.

[AnDe]

Doil-byle в сообщении #701808 писал(а):

Ага, у меня тоже так и было. Сначала захотелось с вещественными числами разобраться, а в той же книжке всё с аксиом Пеано выводилось, ну так я с них и начал. После и аксиоматическую теорию множеств изучил, где аксиомы Пеано все были выведены по ходу дела (как теоремы). Так кажется, что и матлогику теперь надо изучить, а то типа не всё понятно. Но надоело... не хочется отрываться от, как говорят некоторые дяди, концептуальной математики. Сейчас Винберга читаю.

А по каким книгам?

(Оффтоп)

Doil-byle в сообщении #701835 писал(а):

до сих пор горько.

Эх, и не говорите. Всем нам его не хватает.

[Doil-byle]

AnDe в сообщении #701916 писал(а):

А по каким книгам?

Аксиоматическое построение числовых множеств я изучил по книжке И.Т. Демидова "Основания арифметики". Теорию множеств в основном по последней главе книги Дж.Келли "Общая топология". Также некоторые нужные мне вещи дополнительно нашёл в книге Куроша "Лекции по общей алгебре" и того же Верещагина.

Мне в целом понравилось изложение у Келли своей общностью и основательностью. Приведу пример. Во многих книжках, где излагаются основы теории множеств, отношение "быть не более мощным" определяется так: $P(x) \leqslant P(y) \Leftrightarrow \exists z (z \subset y \wedge P(x)=P(z))$. Однако это не интуитивное определение, а скорее теорема, которая доказывается при более естественном определении, путём привлечения более сильной теории (в первую очередь ординалов).
Сейчас покажу. Правда, Келли не использует кванторов и логических операций, а пишет слова, и, кроме того, он не всегда пишет достаточно подробно, так что пришлось некоторые вещи дописывать и переписывать.

Запись $x \approx y$ означает, что существует биекция между $x$ и $y$. Это отношение эквивалентности, которое называется равномощностью. $R$ - класс всех ординальных чисел. Далее определяются $C=\{x:x \in R \wedge \forall y (y \in R \wedge y < x \Rightarrow \neg(x \approx y))\}$, $P=\{(x,y): x \approx y \wedge y \in C \}$. Ясно, что $P$ - функция, а $P(x)$ - наименьший ординал, равномощный $x$ (а один обязательно найдётся - тоже теорема такая есть). Теперь отношение $P(x) \leqslant P(y)$ даже не надо определять - оно понятно из построения ординалов. Остаётся доказать теорему о том, что $y \in \mathcal{U} \wedge x \subset y \Rightarrow P(x) \leqslant P(y) $
(высказывание $y \in \mathcal{U}$ просто означает, что $y$ - множество ($\mathcal{U}$ - универсум)). Отсюда немедленно выводится и данное выше "определение" и теорема Кантора-Бернштейна.

Некоторый недостаток главы в том, что несколько раз в доказательсвах попадались пропуски, а часть важных теорем дана без доказательства (только когда доказательство несложное ), но это всё стоит рассматривать как упражнения, которых в явном виде в главе нет. Также стоит посмотреть и поупражняться с некоторыми специальными вещами, важными в приложениях, такими как мощность всех функций и мощность всех непрерывных функций на $\mathbb{R}$ в $\mathbb{R}$, всякими там отображениями в числовых множествах и прочее.

В общем, можете попробовать, а там если что можно на форум и писать. Правда, там у вас же ещё, наверное, егэ, олимпиады, поступление...

[AnDe]

Doil-byle
Спасибо.

Doil-byle в сообщении #702442 писал(а):

Правда, там у вас же ещё, наверное, егэ, олимпиады, поступление...

Олимпиады уже написаны, поэтому проблем с поступлением не должно быть, на ЕГЭ можно забить

[Утундрий]

Кстати, математикой осмысленная жизнедеятельность не ограничивается.

[Иван_85]

Итак, мое ИМХО.
Вам нужно создать твердый фундамент для изучения в будущем любой математики. Так как Вы в 11 классе, то это еще не поздно.
Очень важно не только понимание теории, но и развить технику решения задач. Для этого есть отличные методички и книги:
1) Методички заочного отделения Малого Мехмата МГУ (http://mmmf.msu.ru/zaoch/prog/),
2) Рождественский В.В. -Решение уравнений и неравенств. Теория и практика. Задачи вступительных экзаменов в МГУ (2000) (особенно рекомендую!)
3) Современная элементарная алгебра в задачах и решениях. Гашков С.Б.
4) Математический анализ в 57 школе (Давидович Б.М., Пушкарь П.Е., Чеканов Ю.В.) http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf Так же есть и другие очень хорошие учебные материалы 57-й школы.

-- Пн апр 01, 2013 14:57:43 --

мат-ламер в сообщении #701375 писал(а):

Может у Вас абстрактный ум. Такой был у Профессора Снейпа. Он анализ по Шварцу учил и считал, что это лучший учебник.

А почему был?

-- Пн апр 01, 2013 15:01:39 --

(Оффтоп)

Doil-byle, когда умер Профессор Снейп? И сколько ему было?