Лагранжева механика, Уравнения связи

[cupuyc]

У Ольховского написано, что нужно найти $\lambda\left(t\right)$ при известных начальных условиях.
То есть лямбда будет зависеть от времени для конкретной траектории системы. Если же решаем задачу в общем виде, то лямбдя является скалярной функцией обобщённых координат, скоростей, времени.

[ИгорЪ]

Странная история по этой теме приключилась вдруг.
Пусть свободной частице в двумерии вдруг запретили двигаться по одной оси, пусть, например, $y=0$, введем связь вида $y^n=0$, пишем лагранжиан
$L=\dot{x}^2/2+\dot{y}^2/2+\lambda y^n$
уравнения
$\ddot{x}=0$
$\ddot{y}=ny^{n-1} \lambda$
можно разрешить относительно связи
$\lambda=\ddot{y}/(ny^{n-1})$
Теперь подставим это дело в лагранжиан
$L=\dot{x}^2/2+\dot{y}^2/2+\ddot y y/n=\dot{x}^2/2+\dot{y}^2/2+\frac{d}{dt}(y\dot y)/n-\dot{y}^2/n$
Только при $n=2$ получим $L=\dot{x}^2/2$, при других $n$ член $\dot{y}^2/2$ останется и будет изменять, если угодно "перенормировывать массу". Причем при $n=1$ вообще получим тахион . Почему квадратичная связь дает ожидаемый эффект, а остальные нет и что они вытворяют с нашей бедной частицей?

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700363 писал(а):

пусть, например, $y=0$, введем связь вида $y^n=0$,

не введем, при $n\ne 1$ это не связь см. topic65593.html

[myhand]

cupuyc в сообщении #500892 писал(а):

У Ландау рассмотрен случай лишь специфических связей $\sum c\left(q\right) \dot{q}$

Чем он так "специфичен", если у Ольховского в цитированном параграфе - даже неголономные связи не рассмотрены. В отличие от. Смотрим в книгу - видим фигу?

cupuyc в сообщении #501034 писал(а):

Если же решаем задачу в общем виде, то лямбдя является скалярной функцией обобщённых координат, скоростей, времени.

Где конкретно такая буквальная глупость написана у Ольховского?

ИгорЪ в сообщении #700363 писал(а):

Теперь подставим это дело в лагранжиан

Есть у вас внятное объяснение тому, что значит эта "подстановка" и чего сим диковинным действием пытаетесь достичь? Что математически и физически значит

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #700389 писал(а):

cupuyc в сообщении #501034 писал(а):
Если же решаем задачу в общем виде, то лямбдя является скалярной функцией обобщённых координат, скоростей, времени.
Где конкретно такая буквальная глупость написана у Ольховского?
ИгорЪ в сообщении #700363 писал(а):

Все правильно, ламбда является функцией обобщенных координат, скоростей и времени

-- Сб мар 23, 2013 19:36:19 --

myhand в сообщении #700389 писал(а):

Чем он так "специфичен",

тем, что связи у него не зависят от времени

-- Сб мар 23, 2013 19:43:27 --

для осознания того, что такое множители Лагранжа полезно решить задачу topic69256.html

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich в сообщении #700381 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #700363 писал(а):

пусть, например, $y=0$, введем связь вида $y^n=0$,

не введем, при $n\ne 1$ это не связь см. topic65593.html

я не смог найти почему при единице это не связь, покажите пожалуйста пальцем, хотя в моем вопросе это и не главное.

myhand в сообщении #700389 писал(а):

Есть у вас внятное объяснение тому, что значит эта "подстановка" и чего сим диковинным действием пытаетесь достичь? Что математически и физически значит

А что тут диковинного? Хочу показать эквивалентность начального лагранжиана с вспомогательным нединамическим полем $\lambda$ (лагранжевым множителем) и лагранжиана $L=\dot{x}^2/2$. В susy теориях, в струне, это обычный трюк, могу поискать ссылку.

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700439 писал(а):

я не смог найти почему при единице это не связь, покажите пожалуйста пальцем, хотя в моем вопросе это и не главное.

нет это как раз главное

Oleg Zubelevich в сообщении #654951 писал(а):

Ранг матрицы $a_i^j$ всюду максимален

-- Сб мар 23, 2013 20:58:03 --

ИгорЪ в сообщении #700439 писал(а):

я не смог найти почему при единице это не связь

читайте внимательно:

Oleg Zubelevich в сообщении #700381 писал(а):

при $n\ne 1$ это не связь

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich в сообщении #700440 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #700439 писал(а):

я не смог найти почему при единице это не связь, покажите пожалуйста пальцем, хотя в моем вопросе это и не главное.

нет это как раз главное

Oleg Zubelevich в сообщении #654951 писал(а):

Ранг матрицы $a_i^j$ всюду максимален

-- Сб мар 23, 2013 20:58:03 --

ИгорЪ в сообщении #700439 писал(а):

я не смог найти почему при единице это не связь

читайте внимательно:

Oleg Zubelevich в сообщении #700381 писал(а):

при $n\ne 1$ это не связь

Это странно, что если связь без скоростей, сливай воду?

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700444 писал(а):

Это странно, что если связь без скоростей, сливай воду?

$$f(x)=0\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\dot x=0$$

[myhand]

Oleg Zubelevich в сообщении #700395 писал(а):

Все правильно, ламбда является функцией обобщенных координат, скоростей и времени

Повторяю вопрос: где эта глупость написана у Ольховского?

Oleg Zubelevich в сообщении #700395 писал(а):

тем, что связи у него не зависят от времени

Просто вам, видимо, ЛЛ читать противопоказано. Вещи, которые тривиально включаются в излагаемый формализм (ну добавьте вы обобщенную координату $t$, все настолько сложно?!) - там не имеют привычки разжевывать до консистенции манной каши...

Oleg Zubelevich в сообщении #700395 писал(а):

для осознания того, что такое множители Лагранжа полезно решить задачу

Как вам правильно там заметили - детские задачи надо самому решать.

ИгорЪ в сообщении #700439 писал(а):

А что тут диковинного?

Диковинного в этом то, что смысла производимых действий вы явным образом не понимаете.

[Oleg Zubelevich]

myhand в сообщении #700447 писал(а):

Повторяю вопрос: где эта глупость написана у Ольховского?

повторяю ответ: глупость несете вы

myhand в сообщении #700447 писал(а):

Вещи, которые тривиально включаются в излагаемый формализм

вам до овладения этим формализмом еще пилить и пилить

[ИгорЪ]

Oleg Zubelevich в сообщении #700446 писал(а):

ИгорЪ в сообщении #700444 писал(а):

Это странно, что если связь без скоростей, сливай воду?

$$f(x)=0\Rightarrow \frac{\partial f}{\partial x}\dot x=0$$

И что? Смутные догадки про равенство нулю всех высших производных кроме первой... Не томите!

[Oleg Zubelevich]

ИгорЪ в сообщении #700456 писал(а):

И что? Смутные догадки про равенство нулю всех высших производных кроме первой... Не томите!

то что связь не содержащая скоростей легко представляется в виде связи линейной по скоростям. Стоит продифференцировать по времени $x^2-y^2-1=0\Rightarrow x\dot x-y\dot y=0$

[ИгорЪ]

myhand в сообщении #700447 писал(а):

Диковинного в этом то, что смысла производимых действий вы явным образом не понимаете.

Т. е. вы утверждаете, что я делаю чушь, но в чем она состоит показать не можете?

[myhand]

ИгорЪ в сообщении #700458 писал(а):

но в чем она состоит показать не можете?

В "подстановке".