Как построить поле из 25 элементов.

[Liverpool]

Собственно вот такая у меня проблема. Итак, начну. $25=5^2$. Затем я строю кольцо вычетов по $\mod 2$ ( кольцо вычетов - это остатки от деления?), это получается 0,1,2,3,4 (5 - не входит?!). А как правильно составить многочлены? я просто не знаю, и что еще надо сделать для построения поля?!)

-- 22.03.2013, 20:31 --

А многочлены должны быть неприводимыми? Почему?

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Ontt]

Liverpool в сообщении #699993 писал(а):

кольцо вычетов по mod 2( кольцо вычетов - это остатки от деления?), это получается 0,1,2,3,4 (5 - не входит?!)

Да, остатки от деления. Вы их перечислили правильно.
А теперь попробуйте разделить числа от $1$ до $10$ на $2$ и посмотрите, какие остатки получаются.

[Liverpool]

А степень 2 показывает длину многочлена или что? как построить многочлены?

[Deggial]

Liverpool в сообщении #699993 писал(а):

Затем я строю кольцо вычетов по $\mod 2$ ( кольцо вычетов - это остатки от деления?), это получается 0,1,2,3,4 (5 - не входит?!).

Это кольцо вычетов не по модулю $2$, а по модулю $5$. В нем $5= 0$

Liverpool в сообщении #699993 писал(а):

кольцо вычетов - это остатки от деления?

Упрощенно говоря, да.

Liverpool в сообщении #699993 писал(а):

я просто не знаю, и что еще надо сделать для построения поля?!)

Вы знаете способ построения конечных полей? Это $\mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - многочлен, неприводимый над $\mathbb{Z}_p$. Если $d=\deg f$, то получаем конечное поле мощности $p^d$. Вот исходя из этого и стройте.

[Liverpool]

То есть это будут всевозвомжные многочлены степени не выше двух?! Слежовательно, 0,1,х, х+1?

[Sonic86]

Liverpool в сообщении #700242 писал(а):

Слежовательно, 0,1,х, х+1?

Сколько получилось элементов? Получилось $4$. А надо $25$. Вы же сначала правильно брали:

Liverpool в сообщении #699993 писал(а):

это получается 0,1,2,3,4

[Liverpool]

То есть от 0 до 24?

[Sonic86]

Liverpool в сообщении #700257 писал(а):

То есть от 0 до 24?

Вам понятно, что здесь написано:

Deggial в сообщении #700240 писал(а):

Это $\mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - многочлен, неприводимый над $\mathbb{Z}_p$. Если $d=\deg f$, то получаем конечное поле мощности $p^d$.

[Liverpool]

Вам понятно, что здесь написано:

Deggial в сообщении #700240 писал(а):

Это $\mathbb{Z}_p[x]/(f(x))$, где $f(x)$ - многочлен, неприводимый над $\mathbb{Z}_p$. Если $d=\deg f$, то получаем конечное поле мощности $p^d$.

Нет

[Liverpool]

А можете, теперь объяснить как составить неприводимый многочлен, и как делается таблица.

[Joker_vD]

Liverpool в сообщении #700706 писал(а):

как составить неприводимый многочлен

Берете многочлен, смотрите — неприводимый? Если нет, берете другой. Всего есть 25 многочленов второй степени, приводимых из них 15, так что шансы у вас неплохие. А можете в справочнике глянуть, или в какой-нибудь системе компьютерной алгебры.

Таблица. У вас в поле 25 элементов, это $0,1,\dots,4,x,x+1,\dots,x+4,\dots,4x,4x+1,\dots,4x+4$. Складывать их легко: складываете многочлены, потом у результата приводите коэффициенты по модулю пять. Пример: $(3x+4)+(4x+2)=7x+6=2x+1$. Умножать же чуть сложнее, когда вы перемножите два многочлена, у вас получится многочлен второй степени. А надо первой. Для этого вы результат делите на выбранный неприводимый многочлен — у вас будет остаток, вот его и возьмете в качестве результата умножения.

Неприводимость гарантирует вам, что будет поле.

[Liverpool]

Joker_vD
А неприводимый это то у которого нету корней?

[Joker_vD]

Неприводимый многочлен — это который не раскладывается в произведение многочленов меньшей степени. Для многочленов второй и третьей степени это равносильно отсутствию корней. Для степеней начиная с четвертой — уже нет. Например, многочлен $x^4+2x^2+1$ (над $\mathbb R$) не имеет корней, но не является неприводимым.