Задача с применением арифметических действий

[katletina]

Необходимо опубликовать наиболее эфективное решение следующей задачи:

Известно два числа $a$ и $b$.
Нужно выразить с помощью простых арифметических операций числа $c$ и $d$ через $a$ и $b$.

Всего чисел 4: $0 1 2 3$
К примеру если $a=1$ $b=2$, то $c=0$, а $d=3$.

Еще дана таблица, которая должна получится в конце:

$$\begin{tabular}{c|c|c|c} $a$ & $b$ & $c$ & $d$ \\ \hline $0$ & $1$ & $2$ & $3$ \\ $0$ & $2$ & $1$ & $3$ \\ $0$ & $3$ & $1$ & $2$ \\ $1$ & $2$ & $0$ & $3$ \\ $1$ & $3$ & $0$ & $2$ \\ $2$ & $3$ & $0$ & $1$ \\ \end{tabular}$$

вот в итоге кроме того что $d=6-(a+b+c)$
$c=6-(a+b+d)$
я долго решал и пришел к варианту ответа:

$$c = ((a+b)\pmod b) - (a+b) + 3$$

$$d = ((a+b)\pmod b) - a + 3$$

Но это не самый эффективный, он включает 4 из 6
Помогите плз решить уже 4 сутки мучаюсь....

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: формулы не оформлены $\TeX$ом

Наберите формулы $\TeX$ом. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
таблицу поправил и вернул

Можно, конечно, сконструировать 2 многочлена Лагранжа, только от двух переменных, это гарантированно сработает, только будет длинно и страшно (хотя эти многочлены можно, конечно, упростить).

katletina в сообщении #699206 писал(а):

Нужно выразить с помощью простых арифметических операций

У Вас в качестве операций только сложение, вычитание, умножение, деление и взятие остатка по модулю?

Можно также воспользоваться свойством $A=m\left[\frac{A}{m}\right]+A\bmod m$ - с помощью него мы можем выразить функцию $\left[\frac{A}{m}\right]$, в частности $\left[\frac{x}{3}\right]$, последняя равна $1$ тогда и только тогда, когда $x=3$, иначе равна нулю. Потом из таких индикаторных функций тоже можно сконструировать искомую функцию, но тоже может получится довольно длинное выражение.

[katletina]

просто мне сказали что ее можно решить на уровне 5 класса, т.е. не высшая математика и не алгебра, а простая арифметика...
Просто нужно наиболее простое и эффективное уравнение, а боюсь через Лангранжа получится слишком замудрено.

[arseniiv]

Разве многочлены Лагранжа не имеют простого вида? Кто сказал, что в выражениях $(a-a_1)(a-a_2)(a-a_3)(b-b_1)(b-b_2)(b-b_4)$ надо раскрывать скобки? Без раскрытия скобок смысл многочленов Лагранжа, к тому же, прозрачен.

($\TeX$.)

Deggial, как операцию лучше \bmod: $A \bmod m$ vs. $A \mod m$ с \mod.

[Deggial]

(arseniiv)

arseniiv в сообщении #699442 писал(а):

Deggial, как операцию лучше \bmod: $A \bmod m$ vs. $A \mod m$ с \mod.

Поправил, спасибо

[arseniiv]

Кстати, пропустили важную вещь: единственным способом из $(a, b)$ мы можем получать только неупорядоченные пары $\{c, d\}$. Иначе у нас $2^6$ различных пар функций — какая нужна?

-- Чт мар 21, 2013 22:52:59 --

Хотя, если руководствоваться только таблицей, произвола нет.

[ИСН]

Правая половина таблица идентична левой, перевёрнутой вверх ногами.

[katletina]

ИСН в сообщении #699451 писал(а):

Правая половина таблица идентична левой, перевёрнутой вверх ногами.

А можно поконкретней, что это может дать? я долго думал, но к правильным арифметическим действия не пришел

-- 21.03.2013, 21:38 --

katletina в сообщении #699206 писал(а):

Нужно выразить с помощью простых арифметических операций

У Вас в качестве операций только сложение, вычитание, умножение, деление и взятие остатка по модулю?

Цитата:

Цитата:

Можно также воспользоваться свойством $A=m\left[\frac{A}{m}\right]+A\bmod m$ - с помощью него мы можем выразить функцию $\left[\frac{A}{m}\right]$, в частности $\left[\frac{x}{3}\right]$, последняя равна $1$ тогда и только тогда, когда $x=3$, иначе равна нулю. Потом из таких индикаторных функций тоже можно сконструировать искомую функцию, но тоже может получится довольно длинное выражение.

да с помощью этих операций. Но я не совсем понял про то как правильно применить это свойство к решению...

[katletina]

Просто вы как и я пытаетесь найти решение в высшей математике, но тут простая арифметика. Мне сказали что мои формулы которые я получил очень близки к ответу, и я хотел бы узнать, что я все таки упустил... Поэтому и писал что задачка на уровне 5 класса)

[Shadow]

Мне кажется, что табличка неполная - просто чтобы показать принцип: все четыре числа должны присутствовать и если
$\\a<b \Rightarrow c<d\\ a>b \Rightarrow c>d$
Второй случай, думаю, подразумевается. В таком случае наличие в формул $\bmod b$ является ошибкой.
Вариантов, конечно немало...например:
$\\a+b \ne 3 \Rightarrow c=3-b\\ a+b=3 \Rightarrow c=\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)$
Аналогично d.
(если ограничится только данной табличкой, вторая формула вообще будет $c=1-a$)

Можно объединить формул жульничеством, напр.
$\displaystyle c=(3-b)\left[(a+b)^2 \bmod 3\right]+\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)\left[1-(a+b)^2 \bmod 3\right]$

Некрасиво получается, но все таки - на уровне 5-го класса, простая арифметика.

[katletina]

Shadow в сообщении #699787 писал(а):

Мне кажется, что табличка неполная - просто чтобы показать принцип: все четыре числа должны присутствовать и если
$\\a<b \Rightarrow c<d\\ a>b \Rightarrow c>d$
Второй случай, думаю, подразумевается. В таком случае наличие в формул $\bmod b$ является ошибкой.
Вариантов, конечно немало...например:
$\\a+b \ne 3 \Rightarrow c=3-b\\ a+b=3 \Rightarrow c=\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)$
Аналогично d.
(если ограничится только данной табличкой, вторая формула вообще будет $c=1-a$)

Можно объединить формул жульничеством, напр.
$\displaystyle c=(3-b)\left[(a+b)^2 \bmod 3\right]+\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)\left[1-(a+b)^2 \bmod 3\right]$

Некрасиво получается, но все таки - на уровне 5-го класса, простая арифметика.

Ну тот, кто загадал задачку, дал именно эту таблицу. Впринцепе этот метод больше всего подходит, но я не понял ваших рассуждений

Цитата:

Вариантов, конечно немало...например:
$\\a+b \ne 3 \Rightarrow c=3-b\\ a+b=3 \Rightarrow c=\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)$
Аналогично d.
(если ограничится только данной табличкой, вторая формула вообще будет $c=1-a$)

и откуда вообще в формуле

Цитата:

$\displaystyle c=(3-b)\left[(a+b)^2 \bmod 3\right]+\dfrac 3 2 \left(1+\dfrac {1}{a-b}\right)\left[1-(a+b)^2 \bmod 3\right]$

взялись квадратные скобки...