Определитель матрицы как ориентированный объем

[oliver]

Помогите пожалуйста разобраться с вопросом.

Во многих местах (и на этом форуме) встречается утверждение, что определитель матрицы является ориентированным объемом параллелепипеда, натянутого на вектор-столбики, из которых состоит матрица. Для размерностей пространства от 1 до 3 можно доказать геометрически (в основном именно такие доказательства встречаются в интернете).

Хотелось бы понять ситуацию для общего случая. Возможно есть геометрическая интерпретация, которую я не могу построить (которая обобщает задачу). Ссылка на доказательство тоже подойдет.

[Chernoknizhnik]

Гляньте "Лекции по математическому анализу" (С.М.Львовский) стр. 154.

[oliver]

Chernoknizhnik в сообщении #699437 писал(а):

Гляньте "Лекции по математическому анализу" (С.М.Львовский) стр. 154.

Спасибо за ссылку. Посмотрел - сложновато для меня (мат. анализ на таком уровне в универе не проходил, да и было то 5 лет назад).

Нашел более простое доказательство:
С помощью процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта систему линейно независимых векторов можно привести к ортогональному виду.
Если воспользоваться линейностью определителя, легко показать, что на каждом шаге процедури определитель не меняется.
После этого с помощью матрицы поворота приведем систему к диагональному виду - определитель снова не поменялся, но теперь ситуация тривиальна.

[bot]

Можно так. Ориентированный объём удовлетворяет трём основным свойствам определителя, которые его однозначно определяют:
1) Это полилинейная числовая функция
2) Это кососимметрическая функция
3) Объём единичного куба правой тройки векторов равен единице.