2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определитель матрицы как ориентированный объем
Сообщение21.03.2013, 19:36 
Аватара пользователя
Помогите пожалуйста разобраться с вопросом.

Во многих местах (и на этом форуме) встречается утверждение, что определитель матрицы является ориентированным объемом параллелепипеда, натянутого на вектор-столбики, из которых состоит матрица. Для размерностей пространства от 1 до 3 можно доказать геометрически (в основном именно такие доказательства встречаются в интернете).

Хотелось бы понять ситуацию для общего случая. Возможно есть геометрическая интерпретация, которую я не могу построить (которая обобщает задачу). Ссылка на доказательство тоже подойдет.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы как ориентированный объем
Сообщение21.03.2013, 19:41 
Гляньте "Лекции по математическому анализу" (С.М.Львовский) стр. 154.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы как ориентированный объем
Сообщение22.03.2013, 01:00 
Аватара пользователя
Chernoknizhnik в сообщении #699437 писал(а):
Гляньте "Лекции по математическому анализу" (С.М.Львовский) стр. 154.

Спасибо за ссылку. Посмотрел - сложновато для меня (мат. анализ на таком уровне в универе не проходил, да и было то 5 лет назад).

Нашел более простое доказательство:
С помощью процедуры ортогонализации Грамма-Шмидта систему линейно независимых векторов можно привести к ортогональному виду.
Если воспользоваться линейностью определителя, легко показать, что на каждом шаге процедури определитель не меняется.
После этого с помощью матрицы поворота приведем систему к диагональному виду - определитель снова не поменялся, но теперь ситуация тривиальна.

 
 
 
 Re: Определитель матрицы как ориентированный объем
Сообщение22.03.2013, 05:49 
Аватара пользователя
Можно так. Ориентированный объём удовлетворяет трём основным свойствам определителя, которые его однозначно определяют:
1) Это полилинейная числовая функция
2) Это кососимметрическая функция
3) Объём единичного куба правой тройки векторов равен единице.

 
 
 [ Сообщений: 4 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group