Поворот гиперплоскости

[serval]

Здравствуйте.
Вроде, задача простая, но не могу сообразить.

Пусть имеются две точки (центры 3-мерных граней 5-мерного гиперкуба) с координатами $A(1,0,0,1,-1)$ и $B(0,1,1,0,-1)$. Обе они принадлежат грани с нормалью $\vec n=\{0,0,0,0,-1\}$.
Как повернуть эту грань (найти матрицу поворота), чтобы точка $A$ перешла в точку $B$ ?

Судя по расстоянию между точками, они принадлежат противолежащим ребрам, но поворот на $\pi$ вокруг всех возможных осей ничего не дает (и на $ \frac {\pi}{2}$ тоже).
Пожалуйста, подскажите.

[ИСН]

$$\left(\begin{matrix} 0& 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1 \end{matrix}\right) $$

[ewert]

Решений, разумеется, бесконечно много. Естественное уточнение постановки задачи -- дополнительно потребовать, чтобы поворот происходил в плоскости $A(1,0,0,1,-1),\ B(0,1,1,0,-1),\ O(0,0,0,0,0)$. Для этого надо найти ортонормированный базис, два первых вектора которых коллинеарны векторам $\vec a=(1,0,0,1,-1)$ и $\vec b=(0,1,1,0,-1)$, а три последних -- ортогональны им. В новом базисе требуемая матрица поворота будет иметь вид $\scriptstyle\begin{pmatrix}c&s&0&0&0\\-s&c&0&0&0\\0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1\end{pmatrix}$, где $c$ -- это просто косинус угла между векторами $\vec a,\vec b$ (надо только не перепутать направления, т.е. выбрать правильный знак $s$). И останется только подвергнуть эту матрицу соответствующему преобразованию подобия.

[serval]

ИСН, спасибо. А что это за повороты?

-- Ср мар 20, 2013 12:50:27 --

ewert, а зачем нужна $O$ если она совпадает с $B$ ?

[ИСН]

Я не знаю, что такое повороты в пятимерном пространстве. (Матрицу написал от балды; как справедливо отметил ewert, их таких много.) И Вы тоже не знаете. Например, как отличить поворот от неповорота? А потом - чем они характеризуются? Что в принципе могло бы быть ответом на Ваш вопрос? Число? Два числа? Три? Больше? С каким смыслом?

[ewert]

serval в сообщении #698715 писал(а):

ewert, а зачем нужна $O$ если она совпадает с $B$ ?

По рассеянности. Я забыл заменить там все элементы нулями.

ИСН в сообщении #698720 писал(а):

Я не знаю, что такое повороты в пятимерном пространстве.

Ортогональные преобразования без отражений.

ИСН в сообщении #698720 писал(а):

Например, как отличить поворот от неповорота?

По детерминанту. Как отличить 1 от -1?...

[ИСН]

ewert, ну Вы-то зачем всё это сразу, ну.

[TOTAL]

Если в четырехмерном пространстве у двух осей поменять направление, то чему равен определитель преобразования и является ли оно поворотом?

[ewert]

serval в сообщении #698715 писал(а):

ИСН, спасибо. А что это за повороты?

Это комбинация двух отражений, но поскольку количество отражений чётно, то его же можно получить и комбинацией двумерных поворотов. Например:

$$\begin{pmatrix}0& 1& 0& 0& 0\\-1& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 1& 0& 0\\0& 0& 0& 1& 0\\0& 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0& 1& 0& 0& 0\\-1& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 0& 1& 0\\0& 0& -1& 0& 0\\0& 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}\mapsto \begin{pmatrix}0& 1& 0& 0& 0\\1& 0& 0& 0& 0\\0& 0& 0& 1& 0\\0& 0& 1& 0& 0\\0& 0& 0& 0& 1 \end{pmatrix}$$

[serval]

ewert, спасибо!
Теперь можно играть дальше :)