По поводу приближенного решения задачи Пфаффа.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #698230 писал(а):

При этом приравниваем $g_{11}=g_{22}=1,g_{12}=g_{21}=0 $, что в силу симметрии преобразования сводится к двум равенствам.

Подставьте ТАКИЕ преобразования в формулу замены переменных для метрики и увидите, что Евклидову метрику не получите никогда.
Не надо разговоров. Подставьте! Напишите уравнения!

[Deggial]

evgeniy в сообщении #698136 писал(а):

Две действительные функции f,g называются независимыми, если не существует действительных чисел a,b чтобы выполнялось равенство af+bg=0.

evgeniy, замечание за неоформление формул ТеХом

[shwedka]

Да,$ x,y,z $у Вас комплексные!Тогда совсем смешно будут уравнения выглядеть!Когда вы метрический тензор в стандартных сферических координатах попыаетесь к Евклидову преобразовать!
Только не пишите по Вашему обыкновению 'надо': надо подставить... надо решить... Никто за Вас считать не будет. Что Вам надо, делайте сами.

[evgeniy]

Тут необходимо сказать, что метрика будет диагональна.В самом деле
$g_{13}=\sum_{l=1}^3\frac{\partial x_l}{\partial r}\frac{\partial x_l}{\partial \varphi_1}=\sum_{l=1}^3 x_l \frac{\partial x_l}{\partial \varphi_1}/r=\sum_{l=1}^3 \frac{\partial x_l^2/2}{\partial \varphi_1}/r=0$
Величина $H_1=r,H_2=r,H_3=1$
оператор Лапласа имеет вид
$\frac{1}{H_1 H_2 H_3}[\frac{\partial }{\partial r}\frac{H_1 H_2}{H_3}\frac{\partial U}{\partial r}+\frac{\partial }{\partial \varphi_1}\frac{H_2 H_3}{H_1}\frac{\partial U}{\partial \varphi_1}+\frac{\partial }{\partial \varphi_2}\frac{H_3 H_1}{H_2}\frac{\partial U}{\partial \varphi_2}]=0$
подставляя значение коэффициетов Ламе, получим
$\frac{1}{r^2}[\frac{\partial }{\partial r}r^2\frac{\partial U}{\partial r}+\frac{\partial^2 U}{\partial \varphi_1^2}+\frac{\partial^2 U }{\partial \varphi_2^2}]=0$
да получается, что x,y,z являются комплексными и занимают особую область в трехмерном комплексном пространстве. это пространство называется пространством Калаби-Яу и используется в теории струн. оно построено более сложным образом и является Риччи плоским.
Метрический интервал построенного преобразования имеет вид
$ds^2=c^2dt^2-R^2/R^2_0\times((d \ln R/R_0)^2+d\varphi_1^2+d\varphi_2^2) $
Докажем что этот метрический тензор удовлетворяет уравнению ОТО в вакууме и является Риччи плоским. Т.е. построенное ранее преобразование координат образует пространство Калаби-Яу с Риччи плоской метрикой. Простая метрика этого пространства и ограниченное количество пространств позволяет использовать построенное пространство для обоснования стандартной модели и вычислении масс элементарных частиц.
Так как пространственная часть метрического тензора по построению имеет вид $g_{lk}=R^2 \delta_{lk}/R_0^2$, относительно координат $\ln R/R_0,\varphi_1,\varphi_2$, он удовлетворяет уравнению ОТО в вакууме. При этом
$\Gamma_{k,kk}=\frac{1}{2}\frac{\partial g_{kk}}{\partial x^k}=g_{kk}= R^2\delta_{lk}/R_0^2=\exp(2\ln R/R_0)\delta_{lk}$
где индекс k=1 соответствует радиальной компоненте, а остальные компоненты символа Кристоффеля равны нулю. Т.е. символ Кристоффеля является скаляром $\Gamma_{i,kl}=g_{11}(R)\delta_{1i}\delta_{1k}\delta_{1l}$, зависящим только от радиуса, при этом символ Кристоффеля $\Gamma^i_{kl}=\Gamma^i_{kl}(R)\delta_{1k}\delta_{1l}$ является вектором и тензор Риччи равен
$R_{ik}=(\frac{\partial \Gamma^1_{11}}{\partial x^1}- \frac{\partial \Gamma^1_{11}}{\partial x^1}+ \Gamma^1_{11}\Gamma^1_{11}-\Gamma^1_{11}\Gamma^1_{11})\delta_{1i}\delta_{1k}=0$
а значит, метрический тензор удовлетворяет уравнению ОТО в вакууме, причем его метрический тензор легко вычислить. Таким образом удалось построить Риччи плоскую метрику.

[shwedka]

Цитата:

Метрический интервал построенного преобразования имеет вид

Преобразование не построено,замена переменных не указана, поэтому Калаби и Яу пока отдохнут.
Вы не указали, какие новые переменные вводите.

Цитата:

$g_{13}=\sum_{l=1}^3\frac{\partial x_l}{\partial r}\frac{\partial x_l}{\partial \varphi_1}=\sum_{l=1}^3 x_l \frac{\partial x_l}{\partial \varphi_1}/r=\sum_{l=1}^3 \frac{\partial x_l^2/2}{\partial \varphi_1}/r=0$

А вот другие коэффициенты Вы по скромности не посчитали. Они-то такими простыми не будут.
Повторите, что Вы хотите сделать.
Если перейти от сферических координат в пространстве к Евклидовым координатам в пространстве, то здесь Вы ломитесь в открытую дверь. Такое пишут в сотнях учебников по анализу.
Если Вы хотите перейти от сферических координат на сфере к каким-то другим координатам на сфере, (а именно об этом шла речь с самого начала!) то

в который раз требую! Проведите подробно все вычисления!

Возьмите метрический интервал,
$d\phi_1^2+\sin^2\phi_1d\phi_2^2$
Напишите подробно замену и сделайте ее
на сфере с радиусом, для простоты, единица.
Сделайте, а не пишите, что надо сделать.

[evgeniy]

Shwedka я не понимаю, что Вы от меня хотите. Преобразование координат построено
$x=r \exp(i\varphi_1)f(\varphi_1)/R$
$y=r \exp(i\varphi_2)f(\varphi_2)/R$
$z=r g(\varphi_1)g(\varphi_2)/R$
$R^2=\exp(2i\varphi_1)f^2(\varphi_1)+\exp(2i\varphi_2)f^2(\varphi_2)+g^2(\varphi_1)g^2(\varphi_2) $
метрический тензор вычислен. Его сферическая часть определяется по формулам $g_{11}=g_{22}=1,g_{12}=g_{21}=0$
С учетом радиуса коэффициенты Ламе вычислены. Уравнение Лапласа записано.
зачем считать через сферический интервал
$d\theta^2+\sin^2\theta d\varphi^2$
Для этого надо установить связь между углами $\theta,\varphi$ и углами $\varphi_1,\varphi_2$. Зачем считать метрический интервал таким сложным способом, когда имеется простой способ подсчета интервала. Вы предлагаете ехать в Москву через Луну, когда можно добраться на самолете или поезде. Причем на Луну добраться невозможно, преобразование координат надо получать численным методом.
Объясните зачем надо делать замену переменных у этого метрического интервала, если метрический интервал подсчитан и равен
$dR^2+R^2(d\varphi_1^2+d\varphi_2^2) $

[shwedka]

Цитата:

метрический тензор вычислен. Его сферическая часть определяется по формулам

Не вычислен. Функции $f,g$ не заданы.

Цитата:

Его сферическая часть определяется по формулам $g_{11}=g_{22}=1,g_{12}=g_{21}=0$

Это Вы просто так написали. Приведите вычисления, например, коэффициентов $g_{11}, g_{12}$
только без жульничества.
Начните с формулы
$dx^2=\sum_{j,k}\frac{\partial x}{\partial\phi_j}\frac{\partial x}{\partial\phi_k}d\phi_jd\phi_k $
Посчитайте по ней ЭТОТ вклад в метрический интервал, а там посмотрим.
Только частные производные по-честному считайте!
Например, дифференцируя $x$ не забывайте о знаменателе!

[evgeniy]

shwedka похоже Вы не ориентируетесь в соотношениях которые я пишу. Как же можно с Вами обсуждать проблему, если Вы не знаете основных положений задачи.
$g_{11}=g_{22}=1,g_{12}=g_{21}=0$
Их этих условий получаются дифференциальные уравнения по вычислению $f(\varphi),g(\varphi)$ т.е. эти соотношения определяются по определению.
Если я распишу эти уравнения, то информация будет нулевая, а записывать их надо тратить силы, при нулевой информации.
Содержательную часть этой информации опишу, почему можно приравнивать $\varphi_1=\varphi_2$. Они сводятся к уравнениям
$g_{11}(\varphi_1,\varphi_2)=1=h(\varphi_1,\varphi_2)$
$g_{22}(\varphi_1,\varphi_2)=1=h(\varphi_2,\varphi_1)$
Т.е. получается, что функция $h(\varphi_1,\varphi_2)$ симметрична по своим аргументам, и значит для определения неизвестных функций $f(\varphi_1),f(\varphi_2),g(\varphi_1),g(\varphi_2)$ аргументы можно приравнять, все равно функции определятся в силу их симметрии.

[shwedka]

Цитата:

Т.е. получается, что функция $h(\varphi_1,\varphi_2)$ симметрична по своим аргументам, и значит для определения неизвестных функций $f(\varphi_1),f(\varphi_2),g(\varphi_1),g(\varphi_2)$ аргументы можно приравнять, все равно функции определятся в силу их симметрии.

утверждение ошибочно! Приведен пример. Пусть о функции известно, что она симметричнаи$ f(\varphi_1,\varphi_1)=0$ Вы и никто другой не может определить функцию при других значениях,

Цитата:

Их этих условий получаются дифференциальные уравнения по вычислению $f(\varphi),g(\varphi)$ т.е. эти соотношения определяются по определению.

Вот и получите эти уравнения! Вы о них говорите, говорите,
а уравнений нет, как нет! а все потому, что если честно посчитать, то уравнения будут совсем не те, какие Вам хочется.

[evgeniy]

Ладно, если Вам так хочется, чтобы я посчитал $g_{11}$ я посчитаю
$g_{11}=[(if(\varphi_1)+df/d\varphi_1)\exp(i\varphi_1)/R-\exp(i\varphi_1)fdR/d\varphi_1/R^2]^2+[\exp(i\varphi_2)f(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2]^2+[dg/d\varphi_1 g(\varphi_2)/R-g(\varphi_1)g(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2]^2$
$\partial R/\partial \varphi_1=[(if(\varphi_1)+df/d\varphi_1)f(\varphi_1)\exp(2i\varphi_1)+dg/d\varphi_1 g(\varphi_1) g^2(\varphi_2)]/R$
Аналогично считается и коэффициент $g_{12}$
$g_{12}=[(if(\varphi_1)+df/d\varphi_1)\exp(i\varphi_1)/R-\exp(i\varphi_1)fdR/d\varphi_1/R^2][-\exp(\varphi_1)f(\varphi_1)dR/d\varphi_2/R^2]+[(if(\varphi_2)+df/d\varphi_2)\exp(i\varphi_2)/R-\exp(i\varphi_2)fdR/d\varphi_2/R^2][\exp(i\varphi_2)f(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2]+[dg/d\varphi_1 g(\varphi_2)/R-g(\varphi_1)g(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2][dg/d\varphi_2 g(\varphi_1)/R-g(\varphi_1)g(\varphi_2)dR/d\varphi_2/R^2]$
Пример ошибочен, функция $f(\varphi_1,\varphi_2)$ действительно не определится при всех значениях аргумента, но имеется функция $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=1$ записываю одно уравнение с одним неизвестным, хотя имеется два уравнения с двумя неизвестными. Эта функция симметрична по своим аргументам, если аргументы поменять местами, все равно эта функция равна единице. И тогда функция $f(\varphi)$ определится при всех значениях аргумента.

[shwedka]

evgeniy в сообщении #698756 писал(а):

Ладно, если Вам так хочется, чтобы я посчитал $g_{11}$ я посчитаю

теперь мелочь осталась. Доказать, что эти уравнения имеют, ну хоть какие-нибудь, решения. Они ведь несовместными могут оказаться!

evgeniy в сообщении #698756 писал(а):

Эта функция симметрична по своим аргументам

Какая ''эта''?

-- Ср мар 20, 2013 12:57:26 --

evgeniy в сообщении #698756 писал(а):

но имеется функция $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=1$

А это откуда? В ваших уравнениях, в каждое, входят обе функции и обе переменные. Так что ТАКОГО уравнения у Вас нет! Обманываете!

[evgeniy]

evgeniy в сообщении #698756 писал(а):

Пример ошибочен, функция $f(\varphi_1,\varphi_2)$ действительно не определится при всех значениях аргумента, но имеется функция $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=1$ записываю одно уравнение с одним неизвестным, хотя имеется два уравнения с двумя неизвестными. Эта функция симметрична по своим аргументам, если аргументы поменять местами, все равно эта функция равна единице. И тогда функция $f(\varphi)$ определится при всех значениях аргумента.

В моем сообщении имеется ответ на оба Ваши вопроса. Чтобы не писать два уравнения с двумя неизвестными функциями, я записал одно и прокомментировал это. Вы по видимому не читаете, что я пишу, иначе не понятна реакция.
Я говорю об одной функции $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=G(\varphi_2,\varphi_1,\frac{df(\varphi_2)}{d\varphi_2},f(\varphi_2))=1\eqno(1)$ , которая симметрична по своим аргументам. Если поменять аргументы, то она все равно равна единице по определению и в связи с симметрией преобразования координат по значениям углов, значит она симметрична по своим аргументам. Тут может возникнуть вопрос, а выполняется ли равенство (1). Так как оба выражения (1) равны единице, и функция G устроена таким образом, что выражения (1) симметричны, и это равенство выполняется.
Допустим выполняется равенство первого члена (1) единице, тогда и второй член равен единице, так как отличается обозначением индексов, а исходное уравнение симметрично.
Если записать два уравнения с двумя неизвестными функциями, то логика решения не изменится.

[shwedka]

Неверно!
даже первое уравнение написано неправильно, Должно быть

shwedka в сообщении #698676 писал(а):

Начните с формулы
$dx^2=\sum_{j,k}\frac{\partial x}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x}{\partial\varphi_k}d\varphi_jd\varphi_k $

и из-за$ R$ появятся частные производные по ОБЕИМ переменным,
которые вы зажулили.

evgeniy в сообщении #698834 писал(а):

Если записать два уравнения с двумя неизвестными функциями, то логика решения не изменится.

То есть, Вы вычислений не проводили. И думаете, что Вам поверят.
Вам нужно честно, без обмана, написать все три уравнения, для $g_{11}, g_{22}, g_{12}$,
получится три дифференциальных уравнения с двумя неизвестными функциями, а потом доказать, что эта система разрешима. Заметно? три уравнения с двумя функциями, от одной переменной, как Вам хочется.

evgeniy в сообщении #698756 писал(а):

но имеется функция $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=1$

А Вы уверены, что даже у такого уравнения есть решение, функция $f$, зависящая только от одной переменной и не зависящая от другой, как Вы хотите. Хоть уравнение и ошибочное, см выше, даже с ним у Вас неприятности.

[evgeniy]

shwedka в сообщении #698899 писал(а):

Неверно!
даже первое уравнение написано неправильно, Должно быть

shwedka в сообщении #698676 писал(а):

Начните с формулы
$dx^2=\sum_{j,k}\frac{\partial x}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x}{\partial\varphi_k}d\varphi_jd\varphi_k $

и из-за$ R$ появятся частные производные по ОБЕИМ переменным,
которые вы зажулили.

Вы напутали с формулами, метрический интервал надо писать в виде
$ds^2=\sum_{j,k}\sum_{l=1}^3 \frac{\partial x_l}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x_l}{\partial\varphi_k}d\varphi_jd\varphi_k $
А у вас получается какая-то несуразная запись. Надо думать, когда пишите и проверять запись.
ПРавильная запись метрического тензора
$g_{jk}=\sum_{l=1}^3 \frac{\partial x_l}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x_l}{\partial\varphi_k}$
Я написал как считается $\frac{\partial R}{\partial \varphi_1} $, производная по другому аргументу получается аналогично. Неужели такие вещи надо отдельно комментировать. Такие вещи надо понимать, а не говорить, что это ошибка.
В формулах у меня есть частная производная по величине R по обоим переменным. Если Вы обнаружили ошибку при вычислении метрического тензора, то укажите где ошибка.
Выполняется три равенства, два из которых симметричны в силу симметрии преобразований координат и образуют одно симметричное уравнение.

-- Чт мар 21, 2013 10:47:07 --

[shwedka]

evgeniy в сообщении #699163 писал(а):

ПРавильная запись метрического тензора
$g_{jk}=\sum_{l=1}^3 \frac{\partial x_l}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x_l}{\partial\varphi_k}$

да, правильно!
а теперь возьмите мою формулу
$dx^2=\sum_{j,k}\frac{\partial x}{\partial\varphi_j}\frac{\partial x}{\partial\varphi_k}d\varphi_jd\varphi_k $ для вектора $x=(x_1,x_2,x_3)$ и укажите разницу.

evgeniy в сообщении #699163 писал(а):

Я написал как считается $\frac{\partial R}{\partial \varphi_1} $, производная по другому аргументу получается аналогично.
Но ведь было:Ладно, если Вам так хочется, чтобы я посчитал $g_{11}$ я посчитаю
$g_{11}=[(if(\varphi_1)+df/d\varphi_1)\exp(i\varphi_1)/R-\exp(i\varphi_1)fdR/d\varphi_1/R^2]^2+[\exp(i\varphi_2)f(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2]^2+[dg/d\varphi_1 g(\varphi_2)/R-g(\varphi_1)g(\varphi_2)dR/d\varphi_1/R^2]^2$

И здесь никакого следа второй производной не видно.
Это 'аналогично' Вы только сейчас придумали, будучи пойманным на вранье. А теперь, после исправления
в каждый элемент метрического тензора входят производные от обеих функций, $f,g$,
поэтому Ваше

Цитата:

но имеется функция $G(\varphi_1,\varphi_2,\frac{df(\varphi_1)}{d\varphi_1},f(\varphi_1))=1$

ошибочно.

Цитата:

Выполняется три равенства,

и, как всегда, вопрос. Почему система дифференциальных уравнений, после того, как Вы ее правильно напишете, со всеми производными, которые нужны, имеет решение, при этом такое, как Вам хочется?