суммирование по взаимно-простым числам

[Ward]

Здравствуйте!
Доказать, что $\sum \limits_{m=1\atop (m,n)=1}^{n}m=\dfrac{n\varphi(n)}{2}$
Я пробовал так:

$$\sum \limits_{m=1\atop (m,n)=1}^{n}m=\sum \limits_{m=1}^{n}m\sum \limits_{d\mid(m,n)}\mu(d)$$

В последней сумме я меняю порядок суммирования и получаю, что она равна

$$\sum \limits_{d=1}^{n}\mu(d)\sum\limits_{m=1 \atop {m\equiv 0 \pmod d}}^{n}m=\sum \limits_{d=1}^{n}\mu(d)\left(d+2d+\dots+\left[\frac{n}{d}\right]d\right)=\sum \limits_{d=1}^{n}d\mu(d)\left(1+2+\dots+\frac{n}{d}\right)$$

Но я дальше преобразовываю эту сумму, но ничего хорошего не получается.
Подскажите пожалуйста

[g______d]

Разбейте числа на пары $m$ и $n-m$, и будет Вам счастье.

[Whitaker]

Ward
Вы после замены порядка суммирования еще забыли условие $d\mid n$ в первой сумме и у Вас должно получиться:

$$\dfrac{n}{2}\sum \limits_{d=1\atop{d\mid n}}^{n}\mu(d)+\dfrac{n^2}{2d}\sum \limits_{d=1\atop{d\mid n}}^{n}\mu(d)$$

Рассматриваются случаи $n=1$ и $n>1$ и все отлично!

(Оффтоп)

Хотя если воспользоваться подсказкой пользователя g______d, то все получится гораздо проще