2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 суммирование по взаимно-простым числам
Сообщение19.03.2013, 19:55 
Здравствуйте!
Доказать, что $\sum \limits_{m=1\atop (m,n)=1}^{n}m=\dfrac{n\varphi(n)}{2}$
Я пробовал так: $$\sum \limits_{m=1\atop (m,n)=1}^{n}m=\sum \limits_{m=1}^{n}m\sum \limits_{d\mid(m,n)}\mu(d)$$ В последней сумме я меняю порядок суммирования и получаю, что она равна $$\sum \limits_{d=1}^{n}\mu(d)\sum\limits_{m=1 \atop {m\equiv 0 \pmod d}}^{n}m=\sum \limits_{d=1}^{n}\mu(d)\left(d+2d+\dots+\left[\frac{n}{d}\right]d\right)=\sum \limits_{d=1}^{n}d\mu(d)\left(1+2+\dots+\frac{n}{d}\right)$$Но я дальше преобразовываю эту сумму, но ничего хорошего не получается.
Подскажите пожалуйста

 
 
 
 Re: суммирование по взаимно-простым числам
Сообщение19.03.2013, 20:00 
Аватара пользователя
Разбейте числа на пары $m$ и $n-m$, и будет Вам счастье.

 
 
 
 Re: суммирование по взаимно-простым числам
Сообщение19.03.2013, 20:06 
Аватара пользователя
Ward
Вы после замены порядка суммирования еще забыли условие $d\mid n$ в первой сумме и у Вас должно получиться: $$\dfrac{n}{2}\sum \limits_{d=1\atop{d\mid n}}^{n}\mu(d)+\dfrac{n^2}{2d}\sum \limits_{d=1\atop{d\mid n}}^{n}\mu(d)$$Рассматриваются случаи $n=1$ и $n>1$ и все отлично!

(Оффтоп)

Хотя если воспользоваться подсказкой пользователя g______d, то все получится гораздо проще

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group