Как решать такие уравнения с числом е?

[ИСН]

Почему два корня, почему такие интервалы? Про $1\over e$ ясно: вероятно, Вы обнаружили там минимум. А другие концы интервалов откуда?

[larkova_alina]

nnosipov, выходит, что уравнение $x^{2x}-2-0$ не имеет положительных корней.

-- 18.03.2013, 20:43 --

ИСН, я ошиблась. Функция $f(x)=x^{2x}-2$ принимает минимальное значение в точке $x=\frac{1}{e}$. Вроде есть 1 корень.

[nnosipov]

larkova_alina в сообщении #697769 писал(а):

nnosipov, выходит, что уравнение $x^{2x}-2-0$ не имеет положительных корней.

Выходит, что производную правильно посчитали, а не как я почему-то подумал. Уже хорошо.

-- Пн мар 18, 2013 23:53:11 --

larkova_alina в сообщении #697769 писал(а):

Поэтому корней нет.

Но почему??? Как ведёт себя функция $x^{2x}$ при $x>1$? Это на интервале $(0;1)$ корней нет. А на луче $(1;+\infty)$?

[larkova_alina]

nnosipov, функция $x^{2x}$ при $x>\frac{1}{e}$ строго возрастает.
Точка $x=\frac{1}{e}$ является точкой минимума функции, а значение функции в этой точке положительно.

[TOTAL]

larkova_alina в сообщении #697769 писал(а):

ункция $f(x)=x^{2x}-2$ принимает минимальное значение в точке $x=\frac{1}{e}$, равное примерно 0.48>0. Поэтому корней нет.

$f(1)=-1, \;\; f(2)=15,$ поэтому положительный корень есть.

[nnosipov]

Правильно. Ну и как Вы думаете, она сможет достичь значения $2$? Почему?

[larkova_alina]

nnosipov, да, сможет, так как функция неограниченна сверху.

[nnosipov]

Верно.

[ИСН]

Ну что: решение есть. Численно получается примерно 1.30435. Но нам-то нужно не любое число, а вполне конкретного (помните, какого?) вида. Если этот корень не имеет такого вида - значит, это не корень первоначального уравнения.

[larkova_alina]

ИСН, и как проверить представимо это число в нужном виде или нет?

[nnosipov]

Корень уравнения $x^{2x}=2$ иррационален. А очевидно ли это?

[ИСН]

Тут надо какие-то сильные факты привлекать. Типа того, что целое число в рациональной степени - либо цело и притом состоит из тех же самых простых множителей, либо иррационально.

[nnosipov]

Да не, очевидно. Только знать, что такое взаимно простые числа и их простейшие свойства (есть, например, в учебнике "Алгебра-8" под ред. Виленкина).