Как решать такие уравнения с числом е?

[Ktina]

Решить уравнение:

$$x^2+2e^{-x}(x+1)=2$$

Я попробую решить сама, а если запутаюсь, помогите, пожалуйста.

(Попытка решения)

Раскроем скобки:

$$x^2+2xe^{-x}+2e^{-x}-2=0$$

Найдём производную:

$$(x^2+2xe^{-x}+2e^{-x}-2)'=2x+2e^{-x}-2x(e^{-x})-2e^{-x}=2x(1-e^{-x})$$

Если $x$ положителен, то и производная положительна.
Если $x=0$, то и производная равна нулю.
Если же $x$ отрицателен, то производная всё равно положительна.

Это говорит о том, что наша функция $x^2+2xe^{-x}+2e^{-x}-2$ непрерывно возрастает (не возрастает она только в точке 0, но это, вроде, устранимо?).
Таким образом, если корень есть, то он единственен.
Если $x=0$, то это и будет корень, так как

$$0^2+2e^{-0}(0+1)=2$$

Получается, это и есть ответ?

Надеюсь, подразумевалось $x\in\mathbb R$, а не $x\in\mathbb C$?

[ИСН]

Обычно так и бывает. Единственность через монотонность, а сам корень - методом тыка.

[Ktina]

ИСН,
Спасибо.

Здесь тык удачный попался, иногда бывает и иначе.

[nnosipov]

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #696968 писал(а):

Здесь тык удачный попался, иногда бывает и иначе.

Вот ещё пример для тренировки: $x^{-2x}=2$. Мне не сразу удалось натыкать.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #696971 писал(а):

(Оффтоп)

Ktina в сообщении #696968 писал(а):

Здесь тык удачный попался, иногда бывает и иначе.

Вот ещё пример для тренировки: $x^{-2x}=2$. Мне не сразу удалось натыкать.

Там НЕ монотонная функция...

[nnosipov]

Ktina в сообщении #696972 писал(а):

Там НЕ монотонная функция...

Ну, тем интересней (Эта задачка предлагалась в 2008 году на ПВГ.)

[Ktina]

nnosipov,
Если тыком, то половинка подходит.

[nnosipov]

Ktina, точно. А второй?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #696977 писал(а):

Ktina, точно. А второй?

Положительный, но меньше половинки

[nnosipov]

Так тыкните в него. Он (скорее, она) красивый.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #696982 писал(а):

Так тыкните в него. Он (скорее, она) красивый.

Пока не тыкается. Вилочка затупилась

-- 17.03.2013, 14:00 --

Нечто, близкое к четверти, должно быть.

-- 17.03.2013, 14:01 --

Так, вроде, четверть и годится.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #696983 писал(а):

Так, вроде, четверть и годится.

Ну вот, и дотыкали

[Ktina]

nnosipov,
А как теперь доказать, что третьего корня нет?
Там же монотонность не проглядывается.

-- 17.03.2013, 14:06 --

Ан, нет! Проглядывается в двух местах...

[larkova_alina]

А почему у уравнения $x^{-2x}=2$ не будет отрицательных корней?

[ИСН]

Потому что там у нас вместо графика - тупо отдельные точки. Первые две можно проверить руками, а с остальными и так всё ясно.