Структура вещества в ЧД

[VladTK]

myhand в сообщении #696511 писал(а):

Думаю, при интегрировании последней формулы.

Дык, я до него не дошел. Да и откуда там взяться ошибке, если элемент площади сферы в Шварцшильде совпадает с таковым для Минковского? Т.е. 3-вектор элемента площади равен

$$ \vec{df}=(\sqrt{g_{22} g_{33}} d \theta d \varphi, 0 ,0 )=(r^2 \sin \theta d \theta d \varphi, 0 ,0 ) $$

Получается, кстати, что и $h^{002}$ считать не надо - все равно вырезается $\vec{df}$

В формуле для $h^{001}$ в числителе стоит определитель метрики - он то нам и "нагоняет" лишние метры. Его где-то нужно сократить...

Munin в сообщении #696542 писал(а):

По поводу суперпотенциалов в ЛЛ-2 и МТУ написано мало, советую вот это почитать: http://www.astronet.ru/db/msg/1170672
Лекции современные и очень познавательные...

Читал - согласен.

Munin в сообщении #696542 писал(а):

..Насчёт того, что ТЭИ гравитационного поля (какой бы он ни был псевдо-) не служит источником - это просто вопрос того, что он на самом деле спрятан слева, в тензоре Эйнштейна. Его можно оттуда вытащить в правую сторону. То есть, на теорию возможны разные взгляды, например, некоторый дифоператор от поля равен разным источникам. Как только ТЭИ материи, так и ТЭИ материи + ТЭИ поля (разумеется, при этом дифоператоры разные). Та форма, которая написана во всех букварях, с тензором Эйнштейна $\tfrac{1}{\kappa}\hat{G}^\mu_\nu=\hat{T}^\mu_\nu,$ есть просто "наиболее геометрическая" из них, хотя всё-таки очевидно, что $\hat{G}^\mu_\nu\ne\hat{R}^\mu_\nu,$ и геометрический смысл здесь всё равно несколько "затуманен".

Я Вас понимаю. Тут вопрос в том, что считать уравнениями гравитацинного поля: традиционные уравнения Эйнштейна (95.8) или выражение полного тензора энергии-импульса через суперпотенциал (96.5) из ЛЛ-2. Математически они конечно эквивалентны, но физический смысл несут разный.

[Munin]

VladTK в сообщении #696580 писал(а):

Я Вас понимаю. Тут вопрос в том, что считать уравнениями гравитацинного поля: традиционные уравнения Эйнштейна (95.8) или выражение полного тензора энергии-импульса через суперпотенциал (96.5) из ЛЛ-2. Математически они конечно эквивалентны, но физический смысл несут разный.

Не-а. Если математически они эквивалентны, то и физический смысл несут одинаковый. И ещё куча вариантов уравнений, эквивалентных уравнению Эйнштейна, написана в лекциях А. Н. Петрова, прямо с первой.

[VladTK]

Munin, Вы сами себе противоречите. Как-то Вы говорили, что полевая и геометрическая формулировки ОТО не полностью эквивалентны - нетривиальные многообразия, являющиееся решениями уравнений Эйнштейна, невозможно получить "мягкой" деформацией Минковского. А полевая формулировка ОТО как раз и представляет собой "мягкую" деформацией Минковского. Строится эта полевая формулировка через известную Вам процедуру самосогласования левой и правой частей уравнения поля спина 2 в пространстве-времени Минковского с правой частью (источником) в виде полного ТЭИ системы. Так вот - приводит энта самая процедура самосогласования как раз к уравнению (96.5) из ЛЛ-2. Т.е. в этом уравнении сидит "полевой дух"

[myhand]

VladTK в сообщении #696580 писал(а):

Да и откуда там взяться ошибке, если элемент площади сферы в Шварцшильде совпадает с таковым для Минковского?

Вот отсюда и ошибка.

[Munin]

VladTK в сообщении #696594 писал(а):

Так вот - приводит энта самая процедура самосогласования как раз к уравнению (96.5) из ЛЛ-2.

Приводит.

VladTK в сообщении #696594 писал(а):

Т.е. в этом уравнении сидит "полевой дух"

Нет. Различие, о котором вы (а до этого я) говорили - как раз то, что в уравнение не укладывается.

[schekn]

VladTK в сообщении #696458 писал(а):

а у 4-импульса будет отлична от нуля только нулевая компонента Тут и начались мои проблемы. Размерность компонент суперпотенциала должна, быть энергия/площадь. Но полученные выражения не имеют такой размерности. Да еще к тому же и возрастают с расстоянием, что невозможно. Где ошибка?Замечу еще, что если использовать метрику Минковского в сферической системе координат, то похоже никакой разницы в "массе" системы не будет

Vlad_Tk, обратите внимание, на выражение (105.6) . Там ЛЛ-2 вычисляют его в прямоугольных координатах. Они оговаривают где-то, что псевдотензор является тензором при галилеевых преобразованиях координат. И окончательно получают выражение перед (105.21) :

$h^{00\alpha}=mc^2n^{\alpha}/4{\pi}r^2$

А в сферических может быть расходящийся интеграл.

Посмотрите также сноску в пар. 96 . (стр. 383 в издании 2010) . Там говорится про определитель, который Вам мешается.

[VladTK]

schekn в сообщении #696953 писал(а):

Vlad_Tk, обратите внимание, на выражение (105.6) . Там ЛЛ-2 вычисляют его в прямоугольных координатах. Они оговаривают где-то, что псевдотензор является тензором при галилеевых преобразованиях координат. И окончательно получают выражение перед (105.21) :

$h^{00\alpha}=mc^2n^{\alpha}/4{\pi}r^2$

А в сферических может быть расходящийся интеграл.

Посмотрите также сноску в пар. 96 . (стр. 383 в издании 2010) . Там говорится про определитель, который Вам мешается.

Большое спасибо. Перейдя к декартовым координатам ЛЛ ловко ушли от вопроса с определителем. Самое загадочное в выводе формулы (105.21) для меня - это то что имея под рукой точную метрику Шварцшильда (100.14) ЛЛ не расчитывают 4-импульс с ее помощью. Конечно расчетом, типа того что привел к (105.21), они решили даже более общую задачу. Но... По-видимому ЛЛ понимали, что здесь в ОТО ситуация "не айс". Я, собственно, хотел привести этот пример чтобы показать, что в ОТО неоднозначность выбора псевдотензора приводит к серьезным проблемам. Например, строго говоря, поток энергии-импульса гравитационного излучения в ОТО не определен - он зависит от выбора вида псевдотензора. Но все псевдотензоры обладают одним удивительным свойством, которое позволяет в учебниках по ОТО закрывать глаза на эту неоднозначность потока.

И в сферических координатах Минковского не может быть расходящегося интеграла - используется сфера конечного радиуса.

(Оффтоп)

И, кстати, мой "ник" - VladTK

[apv]

VladTK в сообщении #696458 писал(а):

Да еще к тому же и возрастают с расстоянием, что невозможно.

schekn в сообщении #696953 писал(а):

Там ЛЛ-2 вычисляют его в прямоугольных координатах.

schekn в сообщении #696953 писал(а):

А в сферических может быть расходящийся интеграл.

Как не крути, интегралы получаются расходящимися, поскольку в $h^{ijk}$ степень $r$ положительна, ибо он выражается через контравариантную метрику. Только в ассимптотически плоском пространстве (+ в декартовых координатах) можно положить $g^{ik}\approx \eta^{ik}+ h_{ik}$. И степень $r$ будет нужным образом отрицательна.
В МТУ2, стр. 100 есть резюме по этому поводу:

Цитата:

Резюме: Попытки использовать формулы (20.9), не учитывая граничных условий Минковского (и, в частности, попытки просто применять их без изменения в криволинейных координатах), легко и неизбежно ведут к абсурду.

И еще:

Цитата:

при вычислении 4-импулъса и момента импульса линеаризованной системы интегральные потоки (20.9) необходимо применять только в координатах, асимптотически переходящих в координаты Минковского. Если такие координаты не существуют (пространство-время не является асимптотически плоским на бесконечности), то необходимо полностью отказаться от интегральных потоков и снованных на них по определению величин: полной массы, импульса и момента импульса гравитирующего источника.

(Если интересно, все ненулевые компоненты суперпотенциала (шварцшильдова метрика))

нумерация инlексов нестандартная [0,1,2,3] --> [1,2,3,4]

NON-ZERO INDEPENDENT COMPONENTS :
"[4, 4, 2] ="

                               2 r - rg

"[3, 2, 2] ="

                 -2 (r - rg) r sin(theta) cos(theta)

"[3, 3, 2] ="

                                  2
                        sin(theta)  (2 r - rg)

"[2, 1, 1] ="

                              3           2
                           4 r  sin(theta)

"[2, 3, 3] ="

                                  2
                       -sin(theta)  (2 r - rg)

"[2, 4, 4] ="

                              -2 r + rg

"[2, 2, 3] ="

                  2 (r - rg) r sin(theta) cos(theta)

"[1, 1, 2] ="

                              3           2
                          -4 r  sin(theta)

"[3, 1, 1] ="

                         3
                      2 r  sin(theta) cos(theta)
                      --------------------------
                                r - rg

"[1, 1, 3] ="

                          3
                       2 r  sin(theta) cos(theta)
                     - --------------------------
                                 r - rg

[schekn]

apv в сообщении #697068 писал(а):

Как не крути, интегралы получаются расходящимися, поскольку в степень положительна, ибо он выражается через контравариантную метрику. Только в ассимптотически плоском пространстве (+ в декартовых координатах) можно положить . И степень будет нужным образом отрицательна.

Не кажется странным? При декларации о общей ковариантности теории вдруг возникает ограничение с декартовыми координатами. В конце концов, я смирился, что законы сохранения теряют в ОТО смысл, но
ведь масса инертная и гравитационные равны с высокой точностью. А где строгое доказательство этого?

[apv]

schekn в сообщении #697092 писал(а):

Не кажется странным? При декларации о общей ковариантности теории вдруг возникает ограничение с декартовыми координатами. В конце концов, я смирился, что законы сохранения теряют в ОТО смысл но ведь масса инертная и гравитационные равны с высокой точностью. А где строгое доказательство этого?

Странным кажется, но эта страннось сродни той странности, которую мы встречаем и в квантовой механике. В конце концов, мы только из классики знаем как пользоваться потоками для определения сохраняющихся величин. Разьве есть гарантия, что в кривом ПВ тоже можно в полной мере? И если масса, определяемая по суперпотенциалу из ЛЛ2 зависит от выбора координат, то тем хуже для этого суперпотенциала.

[VladTK]

apv в сообщении #697138 писал(а):

...И если масса, определяемая по суперпотенциалу из ЛЛ2 зависит от выбора координат, то тем хуже для этого суперпотенциала.

Да не это тут самое плохое. Ну допустим выбрали мы декартовы координаты. Определили метрику пространства-времени. Главный вопрос: какой псевдопотенциал (ну или псевдотензор) выбрать для расчета? Есть псевдотензоры Ландау-Лифшица, Эйнштейна, Меллера и бесконечное множество других. Какой из них нужно взять? Почему он будет лучше других? Даже если при интегрировании по всему пространству эти псевдотензоры будут давать один и тот же результат, то нам этого мало. Чтобы вычислить тот же поток энергии грав.волны через данную точку, нам нужно знать псевдотензор локально (ну или почти локально - в пределах нескольких длин волн). А тут уже разница между разными псевдотензорами становится просто неприличной.

[myhand]

schekn в сообщении #697092 писал(а):

При декларации о общей ковариантности теории вдруг возникает ограничение с декартовыми координатами.

Нет такого ограничения. А вот ограничение на асимптотику пространства-времени (островная задача), чтобы можно было пользоваться понятием "энергии-импульса" гравитационного поля - есть, конечно. Только оно не зависит от системы координат.

schekn в сообщении #697092 писал(а):

ведь масса инертная и гравитационные равны с высокой точностью. А где строгое доказательство этого?

Доказательство этого состоит в том, что массы в ОТО движутся по геодезическим (слабый принцип эквивалентности).

[apv]

VladTK в сообщении #697168 писал(а):

Главный вопрос: какой псевдопотенциал (ну или псевдотензор) выбрать для расчета? Есть псевдотензоры Ландау-Лифшица, Эйнштейна, Меллера и бесконечное множество других. Какой из них нужно взять? Почему он будет лучше других?

VladTK, по этому поводу на данном форуме уже достаточно нахоливарили, не вижу смысла опять развивать подобные споры. Если не нравится ситуация с нелокализируемостью, что ж тут поделаешь. На предсказательную способность теории, это пока не влияет. Вот ежели ... так и сразу, а пока смысл?

[SergeyGubanov]

Вижу тут подняли тему использования именно декартовых координат при работе с псевдотензорами...

Использовать декартовую систему координат при работе с псевдотензорами не обязательно. Можно использовать любую криволинейную систему координат. Вот только производные надо будет брать ковариантные, но ковариантные не по метрике $g_{\mu \nu}$, а по другой метрике, а именно по метрике пространства сравнения. При использовании двух римановых пространств псевдотензоры приобретают тензорную запись.

Мопед не мой: Бурланков Д. Е. ЖЭТФ 44 1941 (1963)

Про биметрический смысл псевдотензоров ещё есть вот там на страницах 20-24: http://phys.unn.ru/uploads/covgr%5B1%5D.pdf

[schekn]

myhand в сообщении #697180 писал(а):

Доказательство этого состоит в том, что массы в ОТО движутся по геодезическим (слабый принцип эквивалентности).

А что тогда доказывается в пар. 105 ЛЛ-2? Когда они получают равенство масс?
Собственно вопрос состоял в том, "весит " ли гр. поле вне статического шара и как его посчитать?
Мунин как обычно дал много ссылок, посчитайте типа сами. VladTK перешел по ссылкам, посчитал и не получил удовлетворительный результат.
-- 18.03.2013, 16:04 --

apv в сообщении #697138 писал(а):

Странным кажется, но эта страннось сродни той странности, которую мы встречаем и в квантовой механике. В конце концов, мы только из классики знаем как пользоваться потоками для определения сохраняющихся величин. Разьве есть гарантия, что в кривом ПВ тоже можно в полной мере? И если масса, определяемая по суперпотенциалу из ЛЛ2 зависит от выбора координат, то тем хуже для этого суперпотенциала.

Вы наверное не поняли вопроса. Маломальски альтернативная теория , например даже БТР , дает доказательство равенства масс инертной и тяжелой. Этим может похвастаться ОТО?