Если число есть сумма квадратов ?

[yk2ru]

Верно ли утверждение:
Если число есть сумма квадратов целых чисел и его можно представить в виде произведения двух других чисел ( т.е. это число не является простым ) , то каждый из сомножителей также должен являться суммой квадратов некоторых целых чисел.

[Dandan]

$n=1^2 + 1^2 + \dots + 1^2$

[yk2ru]

Я имел ввиду сумму двух чисел, которые и являются квадратами:
$C=A^2 + B^2$
Где в утверждении стоит слово сумма, там говорится лишь о двух слагаемых.

[ИСН]

$45 = 36 + 9$
также $45 = 9\cdot 5$
и что, 9 является суммой двух квадратов?
Или нулевые слагаемые можно?
Давайте Вы допишете сразу все пропущенные пункты в условии.

[yk2ru]

Цитата:

Давайте Вы допишете сразу все пропущенные пункты в условии.

Явно пропущенным условием является следующее:
число есть сумма двух квадратов целых чисел, не имеющих общего делителя. Или это называется взаимно-простые числа, поправьте меня?

[RIP]

Натуральное число $n$ можно представить в виде суммы двух квадратов взаимно простых целых чисел тогда и только тогда, когда $n$ не делится на 4 и не имеет простых делителей вида $p\equiv3\pmod4$. Поэтому утверждение с этой поправкой таки да, верно.

[yk2ru]

"Поэтому утвержение с этой поправкой таки да, верно."

RIP, моя формулировка не совсем полная? Или имеется ввиду поправка на взаимную простоту.

[RIP]

Утверждение

yk2ru писал(а):

Если число есть сумма квадратов целых чисел и его можно представить в виде произведения двух других чисел ( т.е. это число не является простым ) , то каждый из сомножителей также должен являться суммой квадратов некоторых целых чисел.

очевидно, неверно, поскольку $9=3^2+0^2$ и $9=3\cdot3$, однако 3 не является суммой двух квадратов (вообще, натуральное число $n$ представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые делители числа $n$ вида $p\equiv3\pmod4$ делят $n$ в чётной степени).

Добавлено спустя 2 минуты 40 секунд:

Да, я имел в виду поправку на взаимную простоту.

[yk2ru]

К числу 25 ваши рассуждения также относятся?
$25 = 5\cdot5$ и $25 = 3^2 + 4^2$
3 и 4 - взаимно просты.

[RIP]

yk2ru писал(а):

К числу 25 ваши рассуждения также относятся?
$25 = 5\cdot5$ и $25 = 3^2 + 4^2$
3 и 4 - взаимно просты.

$5=1^2+2^2$, 1 и 2 взаимно просты. И чё? Какие рассуждения Вы имеете в виду?

[yk2ru]

Число $5$ есть число вида $p\equiv3\pmod4$ ?
Или я что-то не так понял?

[RIP]

yk2ru писал(а):

Число $5$ есть число вида $p\equiv3\pmod4$ ?
Или я что-то не так понял?

$5\equiv1\not\equiv3\pmod4$.

[yk2ru]

Цитата:

натуральное число $n$ представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда все простые делители числа $n$ вида $p\equiv3\pmod4$ делят $n$ в чётной степени.

Я неправильно понял это утверждение? У числа 25 просто нет таких делителей и оно автоматически является суммой двух квадратов?

[RIP]

yk2ru писал(а):

У числа 25 просто нет таких делителей и оно автоматически является суммой двух квадратов?

Да.

[yk2ru]

А пресловутое число $9$? $3$ является делителем и в чётной степени присутствует в числе $9$.