Тригонометрия

[Kabal]

$ 2(\cos x + \sin x) - \sqrt {6} = 0 $
$ 2(\sqrt {2} \sin(x + \frac {\pi} {4})) - \sqrt {6} = 0 $
$ \sin(x + \frac {\pi} {4}) = \frac {\sqrt {6}} {2 \sqrt {2}} $
$ x + \frac {\pi} {4} = (-1)^n \arcsin(\frac {\sqrt {6}} {2 \sqrt {2}}) + n\pi, n \in Z $
$ x = (-1)^n \arcsin(\frac {\sqrt {6}} {2 \sqrt {2}}) + \frac {\pi} {4} + n\pi, n \in Z $

А должно получится
$ (-1)^n \frac {\pi} {3} - \frac {\pi} {4} + n\pi, n \in Z $

Где же я так сильно ошибся?

[Brukvalub]

\[\sqrt 6 = \sqrt 2 \sqrt 3 \]

. И еще, выучите правило: перенос члена уравнения в другую его часть происходит с изменением знака этого члена на противоположный.

[Kabal]

Блин, точно ))

[Kabal]

А как получить из
$ \sin x (2 \sin ^ 2 x - 1) - (1 - 2 \sin ^ 2 x) = 0 $
Такое уравнение:
$ (2 \sin ^ 2 x - 1)(\sin x + 1) = 0 $?

И еще: не подскажите, с чего правильней начать решать уравнение
$ \sin ^ 8 x + \cos ^ 8 x = \frac {17} {16} \cos ^ 2 2x $?

[RIP]

Kabal писал(а):

А как получить из
$ \sin x (2 \sin ^ 2 x - 1) - (1 - 2 \sin ^ 2 x) = 0 $
Такое уравнение:
$ (2 \sin ^ 2 x - 1)(\sin x + 1) = 0 $?

Просто вынести общий множитель $2 \sin ^ 2 x - 1$ за скобки.

Kabal писал(а):

И еще: не подскажите, с чего правильней начать решать уравнение
$ \sin ^ 8 x + \cos ^ 8 x = \frac {17} {16} \cos ^ 2 2x $?

Для начала обозначьте $t=\cos2x$ и выразите всё через $t$. Затем упростите то, что получится....

[Kabal]

Спасибо

[Kabal]

А с чего тут лучше начать не подскажите?
$ \sin 4x = (1 + \sqrt{2})(\sin 2x + \cos 2x - 1) $

[Brukvalub]

Я бы сделал замену

\[\sin 2x + \cos 2x = t\]

[Kabal]

Хм...А что тогда с $ \sin 4x $ делать?

[Brukvalub]

Возведите обе части уравнения замены в квадрат, тогда все должно проясниться.

[Kabal]

А, так все-таки в квадрат возводить можно!

[Brukvalub]

Да, тут я проболтался, и Вы узнали главный секрет математиков Они запрещают другим возводить обе части равенства в квадрат, а сами повернутся спиной (чтобы другие не увидали) и по-тихому возводят . А если без шуток, то дела обстоят так: возводя верное равенство в квадрат, Вы всегда вновь получите верное равенство, поэтому верные равенства можно смело возводить в квадрат. Но и после возведения неверного равенства в квадрат можно получить верное равенство. Поэтому искать корни уравнения, возводя обе его части в квадрат, нужно с опаской, например, делая после такой процедуры проверку полученных корней их подстановкой в исходное (еще не возведенное в квадрат) уравнение. В нашем случае подвоха нет, поскольку мы возводим в квадрат верное равенство (равенство-замену) и нигде далее не будем делать вывод о правильности этого равенства из правильности его квадрата.

[Kabal]

Спасибо

[bot]

Brukvalub писал(а):

Возведите обе части уравнения замены в квадрат, тогда все должно проясниться.

А лучше не возводить. В силу предложенной замены

$t=\sin 2x + \cos 2x=\sqrt{2} \cos (2x - \frac{\pi}{4})$

получаем:

$\sin 4x =(\sin 2x + \cos 2x)^2 - 1 = t^2-1$

Отсюда получаем уравнение $t^2 -1 = (1+\sqrt{2})(t-1)$

с вариантами $t=1$ и $t=\sqrt2$.

Упс-с, сам попался на невнимательности и расписал в подробностях подсказку Brukvalub'а
- он вовсе не советовал возводить в квадрат уравнение .

[Kabal]

Цитата:

На отрезке $ 0 \leqslant x \leqslant \pi $ найти все значений x, удовлетворяющие уравнению $ \sqrt {3} \cos x - \sin x = \sqrt {1 + 2 \cos ^ 2 x - \sqrt{3} \sin 2x} $

Решение

Уравнение имеет вид
$ \sqrt {3} \cos - \sin x = \sqrt {(\sqrt {3} \cos - \sin x ) ^ 2} \Leftrightarrow \sqrt {3} \cos - \sin x \geqslant 0 \Leftrightarrow \cos(x + \frac {\pi}{6}) \geqslant 0, x \in [0, \pi] $

Ответ: $ 0 \leqslant x \leqslant \frac {\pi}{3} $

И часто так быстро решают такие уравнения? От всей правой части только и требуется гарантия того, что левая больше или равна нулю?
А как они получили $ \sqrt {3} \cos - \sin x \geqslant 0 \Leftrightarrow \cos(x + \frac {\pi}{6}) \geqslant 0 $?