Тригонометрия

[Kabal]

Всем привет.

Когда-то надо начинать учиться

Самое первое задание:
Чему равен $ \sin = \frac {\pi} {3}$?
И тут же проблема
Тут же в справочнике до этого задания дана стандартная формула:
$ \sin x = \alpha \Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x = (-1)^n arcsin \alpha + n\pi, n\in Z, |\alpha| \leqslant 1,\\ \varnothing, |\alpha| > 1. \end{array} \right. $

С помощью нее нужно найти \alpha?..Как, не подскажите?..

P.S. Не нашел как изобразить символ пустого множества...

Добавлено спустя 1 час 59 минут 2 секунды:

Или получить значение нужно только с помощью табличных данных?...

[Бек]

sin пи разд на 3=sin60=корень из 3 разделить на 2 О_о

[Kabal]

OK, но это табличные данные. Тогда как получить
$ \sin = \frac {35 \pi} {6}$?

[Lion]

Воспользоваться формулами приведения и периодичностью синуса: $\sin(x+2k\pi)=\sin x$, $\sin(x+\pi/2)=\cos x$.
Символ пустого множества:

\varnothing

[faruk]

Значения тригонометрических функций произвольного аргумента вычисляются с помощью калькулятора.



Википедия: Тригонометрические функции
Википедия: Тригонометрические формулы

[Kabal]

Всем спасибо

А где можно найти док-ва таких уравнений?
$ \sin x = \alpha \Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x = (-1)^n arcsin \alpha + n\pi, n\in Z, |\alpha| \leqslant 1,\\ \varnothing, |\alpha| > 1. \end{array} \right. $
$ \cos x = \alpha \Longleftrightarrow$ $\left\{ \begin{array}{l} x = \pmarccos \alpha + 2\pin, n\in Z, |\alpha| \leqslant 1,\\ \varnothing, |\alpha| > 1. \end{array} \right. $
$ \tg x = \alpha \Longleftrightarrow x = \arctg\alpha + n\pi, n\in Z$
$ \ctg x = \alpha \Longleftrightarrow x = \arcctg\alpha + n\pi, n\in Z$

[Kabal]

Ну или как их можно доказать...

P.S. Формул, конечно, а не уравнений...

Добавлено спустя 1 час 24 минуты 42 секунды:

Либо я вызываю раздражение и вы не хотите отвечать.
Либо что это может быть?..

[RIP]

Можно их доказать, например, используя графики тригонометрических функций.
В случае синуса удобно формулу разбить на 2: с чётными $n$ и нечётными $n$.

P.S. Не забывайте про пробелы после комманд в формулах:

$$\pm\arccos\alpha+2\pi n$$

\pm\arccos\alpha+2\pi n

[Kabal]

Точно:) Я был не уверен. А не могут экзаменаторы потребовать аналитическое док-во? Допустим, на тот же мехмат или ВМиК.

[Brukvalub]

Выучите хотя бы одно правильное д-во, этого Вам и хватит.

[Kabal]

Угу. Понял)

Еще вопрос: у меня есть решение одного из тригонометрических уравнений. Вот часть из него:
$ 5 - 2 \cos x = 5 \sqrt {2} \sin \frac {x} {2} \Longleftrightarrow 5 - 2(1 - 2 \sin^2 \frac {x} {2}) = 5 \sqrt {2} \sin \frac {x} {2} $
А как они получили, что
$ 2 \cos x = 2(1 - 2 \sin^2 \frac {x} {2}) $?

[RIP]

Надо подставить $\alpha=\frac x2$ в формулу $\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha$.

[Kabal]

Аа, точно, спасибо

[Kabal]

Что я не так делаю?

$ 1 + \cos \frac {x} {2} + \cos x = 0 $
$ \sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x + \frac {1 + cos x} {2} - \frac {1 - \cos x} {2} + \cos x = 0 | \cdot 2$
$ 2 \sin ^ 2 x + 2 \cos ^ 2 x + 1 + \cos x - 1 + \cos x + \cos x = 0 $
$ 2 (\sin ^ 2 x + \cos ^ 2 x) + 3 \cos x = 0 $
$ 3 \cos x = -2 $
$ x = \pm \arccos (- \frac {2} {3}) + 2n\pi, n \in Z $

[Brukvalub]

\[ \cos \frac{x}{2} \ne \frac{{1 + \cos x}}{2} - \frac{{1 - \cos x}}{2} \]