Борелевские множества на прямой

[g______d]

Любое открытое множество на оси является счетным объединением замкнутых. Поэтому Ваша конструкция сводится к конструкции только с замкнутыми множествами максимум на 1 тип выше. Следующие типы так не получить.

[--mS--]

Какие следующие типы? Вы не поняли метод подходящих множеств? В нём не стоит, и ни разу не стояло задачи получить борелевские множества. Посмотрите выше, что скрывается за словами "таково" и "таковых" в отквоченной цитате. Это "множества, которые представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств". Возражение против того, что счётное объединение множеств, которые представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств снова является множеством, которое представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств, мне не понятно.

[g______d]

--mS-- в сообщении #694115 писал(а):

Какие следующие типы? Вы не поняли метод подходящих множеств? В нём не стоит, и ни разу не стояло задачи получить борелевские множества.

Я имею в виду вопрос ТС, а не метод подходящих множеств. Это не то же самое.

Если я правильно понимаю Ваше определение класса

--mS-- в сообщении #694115 писал(а):

множеств, которые представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств

, то утверждение

--mS-- в сообщении #694115 писал(а):

счётное объединение множеств, которые представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств снова является множеством, которое представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств

просто неверно. Если я не прав, уточните, пожалуйста, определение указанного класса.

[g______d]

Я уточню что я хотел сказать. Множества, представимые в виде $\bigcup\limits_{i\in \mathbb N}\bigcap\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij}$ или $\bigcap\limits_{i\in \mathbb N}\bigcup\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij}$, где $A_{ij}$ открыты или замкнуты, не образуют $\sigma$-алгебры.

[_hum_]

Как-то раньше не задумывался - а что вообще означает "множество представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств"? Как формализуется эта самая представимость?

[g______d]

_hum_ в сообщении #694175 писал(а):

Как формализуется эта самая представимость?

Я умею только с помощью трансфинитной рекурсии (чтобы действительно получились борелевские множества).

[--mS--]

g______d в сообщении #694125 писал(а):

Если я правильно понимаю Ваше определение класса

--mS-- в сообщении #694115 писал(а):

множеств, которые представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств

Оно не моё. Оно из условия задачи. Вы сейчас сообщили нам, что то, что требуется доказать в задаче, неверно.

g______d в сообщении #694173 писал(а):

Я уточню что я хотел сказать. Множества, представимые в виде $\bigcup\limits_{i\in \mathbb N}\bigcap\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij}$ или $\bigcap\limits_{i\in \mathbb N}\bigcup\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij}$, где $A_{ij}$ открыты или замкнуты, не образуют $\sigma$-алгебры.

Во-первых, $(A\cup B)\cap (C\cup D)=AC\cup AD\cup BC\cup BD$, поэтому эти две формы представления множеств одинаковы, $\bigcap\limits_{i\in \mathbb N}\bigcup\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij} = \bigcup\limits_{i\in \mathbb N}\bigcap\limits_{j\in \mathbb N}B_{ij}$: просто поменяли у множеств имена и нумерацию.

А счётное объединение таких множеств

$$\bigcup\limits_{k\in\mathbb N} C_k = \bigcup\limits_{k\in \mathbb N} \bigcup\limits_{i\in \mathbb N}\bigcap\limits_{j\in \mathbb N}A_{ij}^{(k)} = \bigcup\limits_{i\in \mathbb N}\bigcap\limits_{j\in \mathbb N}X_{ij}$$

- это тоже счётное объединение, только в счётном семействе множеств $\{A_{ij}^{(k)}, i\in\mathbb N, k\in\mathbb N\}$ (при фиксированном $j$) множества перенумерованы заново, и получилась последовательность $\{X_{ij}, j\in\mathbb N\}$.

[g______d]

--mS-- в сообщении #694205 писал(а):

Во-первых, $(A\cup B)\cap (C\cup D)=AC\cup AD\cup BC\cup BD$, поэтому эти две формы представления множеств одинаковы

Для произвольных множеств индексов --- да. Для счетных --- нет. При раскрытии скобок внешнее объединение перестанет быть счетным.

-- 11.03.2013, 20:54 --

--mS-- в сообщении #694205 писал(а):

Вы сейчас сообщили нам, что то, что требуется доказать в задаче, неверно.

Да.

[--mS--]

g______d в сообщении #694210 писал(а):

Для произвольных множеств индексов --- да. Для счетных --- нет. При раскрытии скобок внешнее объединение перестанет быть счетным.

Засада Говорила мама - не переноси свойства конечного числа объектов на бесконечное!

[Rasool]

g______d в сообщении #694182 писал(а):

_hum_ в сообщении #694175 писал(а):

Как формализуется эта самая представимость?

Я умею только с помощью трансфинитной рекурсии (чтобы действительно получились борелевские множества).

Покажите, пожалуйста.

-- Чт сен 12, 2013 16:24:37 --

_hum_ в сообщении #694175 писал(а):

Как-то раньше не задумывался - а что вообще означает "множество представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств"? Как формализуется эта самая представимость?

Т.е. определение из Математической энциклопедии http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/560/%D0%91%D0%9E%D0%A0%D0%95%D0%9B%D0%95%D0%92%D0%A1%D0%9A%D0%9E%D0%95#sel=4:1,4:24

Цитата:

B - множество - это множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологического пространства.

- корректно?

[g______d]

Rasool в сообщении #763170 писал(а):

Покажите, пожалуйста.

Так по Вашей же ссылке и посмотрите.

Rasool в сообщении #763170 писал(а):

Т.е. определение из Математической энциклопедии http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/560/%D0%91%D0%9E%D0%A0%D0%95%D0%9B%D0%95%D0%92%D0%A1%D0%9A%D0%9E%D0%95#sel=4:1,4:24

Цитата:

B - множество - это множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологического пространства.

- корректно?

Корректно, но только вместе со словами, объясняющими, что такое счетная совокупность (и которые там как раз идут дальше).