Борелевские множества на прямой

[Sul]

Семейство борелевских множеств на множестве вещественных чисел определяем, как минимальную сигма-алгебру, содержащую все открытые множества.

Требуется доказать, что всякое борелевское множество представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств. Можно ли сделать это, без использования трансфинитной индукции? Я слышал некоторые соображения, что да, но они очень расплывчатые, и боюсь, что мои описания этих методов еще больше все запутают. Если коротко, то используется идея, что на прямой есть счетная система открытых множеств, счетным объединением элементов которой можно получить любое открытое множество (ну например это все интервалы с рациональными концами). Однако зачем представлять каждое открытое множество в виде счетного объединения открытых, я так и не понял...

Может кому-нибудь все-таки известен способ доказательства данного утверждения без трансфинита?

[_hum_]

А что "метод подходящих множеств" (по Ширяеву) не проходит?

[SpBTimes]

Я не понимаю что-то, или вы же вводите сигма-алгебру (минимальную), которая содержит все открытые множества, а множества, входящие в нее, называете борелевскими.

Может, вы хотите доказать, что всякое открытое представимо в виде объединения/пересечения так называемых элементарных?

[Sul]

_hum_ в сообщении #693233 писал(а):

А что "метод подходящих множеств" (по Ширяеву) не проходит?

Можно ли немного подробнее об этом?

SpBTimes в сообщении #693373 писал(а):

Я не понимаю что-то, или вы же вводите сигма-алгебру (минимальную), которая содержит все открытые множества, а множества, входящие в нее, называете борелевскими.

Именно так.

А про открытые множества и так все известно...

[_hum_]

Sul в сообщении #693418 писал(а):

Можно ли немного подробнее об этом?

Суть в следующем: чтобы доказать какое-то свойство, которым обладают множества минимальной (над некоторой совокупностью исходных множеств) сигма алгебры, достаточно просто взять те множества, которые этим свойством обладают (т.н. "подходящие множетва"), и доказать, что они образуют сигма-алгебру, содержащую в себе исходные множества. Тогда из минимальности будет вытекать, что и все множества минимальной алгебры этим свойством также должны обладать.

[Sul]

В общем именно это я и пытался сделать: рассмотреть множества, представимые в виде счетного числа объединений и пересечений счетного набора открытых множеств, и показать, что они образуют сигма-алгебру. (Ну понятно, что она содержит открытые множества). Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

[--mS--]

Sul в сообщении #693571 писал(а):

Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

Какое отношение это всё имеет к тому, что Вам нужно? Если мы собрали в множество все те множества, которые "представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств", то этот набор множеств является сигма-алгеброй просто потому, что устраивает определению сигма-алгебры. Базовое множество там, с любым множеством, "представимым в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" его дополнение тоже "представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" (это очевидно), ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно. Всё. Эта сигма-алгебра включает борелевскую по определению.

[Sul]

--mS-- в сообщении #693601 писал(а):

Sul в сообщении #693571 писал(а):

Однако я даже плохо себе представляю как записать подобное условие... ну раз речь идет о счетном наборе, то возьмем те самые интервалы с рациональными концами. Проблема правда в порядке объединения/пересечения. Я ведь могу объединить их счетное число, потом пересечь полученное множество с полученным таким же образом, а потом объединить еще с каким-то и т.д., в итоге уйдем далеко за пределы бесконечности, если захотим...

Какое отношение это всё имеет к тому, что Вам нужно? Если мы собрали в множество все те множества, которые "представимы в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств", то этот набор множеств является сигма-алгеброй просто потому, что устраивает определению сигма-алгебры. Базовое множество там, с любым множеством, "представимым в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" его дополнение тоже "представимо в виде счетного числа пересечений и объединений счетного набора открытых (или замкнутых) множеств" (это очевидно), ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно. Всё. Эта сигма-алгебра включает борелевскую по определению.

Собственно из-за того, что я не могу записать требуемое условие на наши множества, мне и не представляются эти два пункта насчет дополнения и счетного объединения очевидными. Если получится их аккуратно доказать, то конечно все будет просто....

[SpBTimes]

Так а вы внимательно посомтрите, скажем, на дополнения до единицы вашего счетного объединения

[Sul]

Так вот вопрос, объединения или пересечения? Вообще почему я могу записать мое множество, используя при этом конечное число знаков "объединить" и "пересечь"? А если придется использовать счетное число знаков, то получится бесконечная последовательность, и тогда как применить к ней законы Моргана при дополнении, мне не ясно...

[SpBTimes]

Дополнение к открытому - замкнуто, а к замкнутому - открыто. Счетное объединение открытых открыто, пересечение - либо открыто, либо замкнуто.
С замкнутыми наоборот. Счетное пересечение замкнутых - замкнуто, а объединение - не факт.
Теперь и рассуждайте. Раз есть все открытые, то есть и все замкнутые (как дополнения к открытым) ну и т.д.

[Sul]

Ну, вообще говоря, счетное пересечение открытых может быть совершенно произвольным. Так вот в чем проблема с Вашими рассуждениями: есть все открытые, есть все замкнутые, но золотые слова "и так далее", которые подразумевают метод математической индукции здесь не проходит, потому что если мы построим последовательность семейств множеств, которые получаются следующее из предыдущего путем счетных объединений/пересечений, а потом объединим все эти семейства, то получим семейство, которое как бы "больше" всей этой последовательности. А потом так же можно сделать с семействами этого же типа...

[SpBTimes]

Они все равно не выйдут за базовое множество, так что я не понимаю проблемы.

[g______d]

--mS-- в сообщении #693601 писал(а):

ну и с любым счётным набором таковых их объединение тоже таково - тоже очевидно.

По-моему, это неверно.

http://en.wikipedia.org/wiki/Borel_hierarchy

Чтобы получить все борелевские множества, нужно итерировать операцию "произвести счетное количество теоретико-множественных операций" несколько раз. Причем "несколько" может быть любым счетным ординалом, и эти процедуры, вообще говоря, друг к другу не сводятся.

[--mS--]

Несколько раз придётся итерировать, если исходить только из открытых, или только из замкнутых, и использовать только объединения, или только пересечения. Здесь же речь идёт о возможности использовать сразу и те, и другие, и то, и другое.