2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 физический маятник
Сообщение07.03.2013, 12:18 


10/02/11
6786
Физический маятник (твердое тело, которое может без трения вращаться вокруг некоторой оси ) установлен на горизонтальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\overline\Omega$.
Ось вращения физического маятника горизонтальна, проходит через центр масс тела и неподвижна в системе координат связанной с плоскостью. Все геометрические параметры задачи и распределение массы в теле известны.
Найти период малых колебаний маятника (когда этот период определен).

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 00:31 


10/02/11
6786
Пусть $S$ -- центр масс тела. Тогда кинетическая энергия имеет вид $T=\frac{1}{2}m|\overline v_S|^2+\frac{1}{2}(J_S\overline \omega,\overline \omega).$
Обозначим через $\overline e$ единичный вектор, направленный вдоль оси вращения маятника.
Введем декартову систему координат $Sxyz$ жестко связанную с твердым телом и такую, что $\oveline e_z=\overline e$.
Тогда $\overline\omega =\overline \Omega+\dot\psi\overline e$, где $\psi$ -- угол поворота оси $Sy$, отсчитываемый от вертикали.
При этом $\overline \Omega=\Omega\sin\psi \overline e_x+\Omega\cos\psi \overline e_y$
В системе $Sxyz$ оператор инерции задается матрицей $J_S=(J_{ij})$ с постоянными коэффициентами.

После выбрасывания полных производных по времени получаем
$$L=\frac{1}{2}J\dot\psi^2-V,\quad V=-\frac{1}{2}(J_S\overline\Omega,\overline\Omega)=-\frac{\Omega^2}{2}\Big(J_{12}\sin 2\psi+\frac{J_{22}-J_{11}}{2}\cos 2\psi\Big)$$
$J=(J_S\overline e,\overline e)$ -- момент инерции относительно оси маятника

Получается, что если $\psi'$ -- относительное положение равновесия маятника то и $\psi'+\pi$ -- тоже относительное положение равновесия

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 00:41 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
Ну там надо откровенно ловить компоненты тензора инерции относительно плоскости, перпендикулярной оси тела. Ибо частота колебаний совершенно откровенно выражается через второй смешанный момент, отнесённый к собственно моменту инерции. Лень.

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 02:10 


10/02/11
6786
так ведь уже все написано :mrgreen:

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 08:21 


10/02/11
6786
интересно, что в задаче наблюдаются (вообще говоря) два устойчивых и два неустойчивых положений равновесия. Причем если тело находилось в устойчивом положении равновесия $\tilde\psi$ то $\tilde\psi+\pi$ -- тоже устойчивое (что несколько странно), и тоже самое с неустойчивыми

-- Сб мар 09, 2013 08:30:30 --

ewert в сообщении #692841 писал(а):
Ибо частота колебаний совершенно откровенно выражается через второй смешанный момент, отнесённый к собственно моменту инерции

и через другие моменты инерции тоже, см формулы

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 09:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Oleg Zubelevich в сообщении #692878 писал(а):
интересно, что в задаче наблюдаются (вообще говоря) два устойчивых и два неустойчивых положений равновесия.

Ага.
"Гайка Джанибекова" :wink:

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 19:56 


10/02/11
6786
вот тема для "вопросов преподавания". Почему задачи такого типа или такого типа topic18350.html
topic68373.html и тп вызывают трудности ? не учат в курсах общей физики и в курсах теормеха во втузах честно писать теоремы динамики в общем (векторном) виде и с ними работать. Сплошные частные случаи и физическая интуиция

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение09.03.2013, 21:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/10
3152
Oleg Zubelevich в сообщении #693303 писал(а):
не учат в курсах общей физики и в курсах теормеха во втузах честно писать теоремы динамики в общем (векторном) виде и с ними работать.

Это естественно - во втузах учат на инженеров, а не на "алгебраистов механики".

 Профиль  
                  
 
 Re: физический маятник
Сообщение10.03.2013, 08:28 


10/02/11
6786
В предыдущей задаче найти как функции $\psi,\dot\psi$ момент реакции связи относительно точки закрепления твердого тела и силу реакции связи, которые действуют на твердое тело.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 9 ] 

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group