физический маятник

[Oleg Zubelevich]

Физический маятник (твердое тело, которое может без трения вращаться вокруг некоторой оси ) установлен на горизонтальной плоскости, которая вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью $\overline\Omega$.
Ось вращения физического маятника горизонтальна, проходит через центр масс тела и неподвижна в системе координат связанной с плоскостью. Все геометрические параметры задачи и распределение массы в теле известны.
Найти период малых колебаний маятника (когда этот период определен).

[Oleg Zubelevich]

Пусть $S$ -- центр масс тела. Тогда кинетическая энергия имеет вид $T=\frac{1}{2}m|\overline v_S|^2+\frac{1}{2}(J_S\overline \omega,\overline \omega).$
Обозначим через $\overline e$ единичный вектор, направленный вдоль оси вращения маятника.
Введем декартову систему координат $Sxyz$ жестко связанную с твердым телом и такую, что $\oveline e_z=\overline e$.
Тогда $\overline\omega =\overline \Omega+\dot\psi\overline e$, где $\psi$ -- угол поворота оси $Sy$, отсчитываемый от вертикали.
При этом $\overline \Omega=\Omega\sin\psi \overline e_x+\Omega\cos\psi \overline e_y$
В системе $Sxyz$ оператор инерции задается матрицей $J_S=(J_{ij})$ с постоянными коэффициентами.

После выбрасывания полных производных по времени получаем

$$L=\frac{1}{2}J\dot\psi^2-V,\quad V=-\frac{1}{2}(J_S\overline\Omega,\overline\Omega)=-\frac{\Omega^2}{2}\Big(J_{12}\sin 2\psi+\frac{J_{22}-J_{11}}{2}\cos 2\psi\Big)$$

$J=(J_S\overline e,\overline e)$ -- момент инерции относительно оси маятника

Получается, что если $\psi'$ -- относительное положение равновесия маятника то и $\psi'+\pi$ -- тоже относительное положение равновесия

[ewert]

Ну там надо откровенно ловить компоненты тензора инерции относительно плоскости, перпендикулярной оси тела. Ибо частота колебаний совершенно откровенно выражается через второй смешанный момент, отнесённый к собственно моменту инерции. Лень.

[Oleg Zubelevich]

так ведь уже все написано

[Oleg Zubelevich]

интересно, что в задаче наблюдаются (вообще говоря) два устойчивых и два неустойчивых положений равновесия. Причем если тело находилось в устойчивом положении равновесия $\tilde\psi$ то $\tilde\psi+\pi$ -- тоже устойчивое (что несколько странно), и тоже самое с неустойчивыми

-- Сб мар 09, 2013 08:30:30 --

ewert в сообщении #692841 писал(а):

Ибо частота колебаний совершенно откровенно выражается через второй смешанный момент, отнесённый к собственно моменту инерции

и через другие моменты инерции тоже, см формулы

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #692878 писал(а):

интересно, что в задаче наблюдаются (вообще говоря) два устойчивых и два неустойчивых положений равновесия.

Ага.
"Гайка Джанибекова"

[Oleg Zubelevich]

вот тема для "вопросов преподавания". Почему задачи такого типа или такого типа topic18350.html
topic68373.html и тп вызывают трудности ? не учат в курсах общей физики и в курсах теормеха во втузах честно писать теоремы динамики в общем (векторном) виде и с ними работать. Сплошные частные случаи и физическая интуиция

[nikvic]

Oleg Zubelevich в сообщении #693303 писал(а):

не учат в курсах общей физики и в курсах теормеха во втузах честно писать теоремы динамики в общем (векторном) виде и с ними работать.

Это естественно - во втузах учат на инженеров, а не на "алгебраистов механики".

[Oleg Zubelevich]

В предыдущей задаче найти как функции $\psi,\dot\psi$ момент реакции связи относительно точки закрепления твердого тела и силу реакции связи, которые действуют на твердое тело.