Линейная алгебра, задачи на доказательство.

[ИСН]

(Оффтоп)

Ещё один поручик Ржевский. Ну можно же было как-то тоньше намекнуть, ну. Нет, сразу резать правду-матку.
"Сиди спокойно, старина, у тебя под ногами гадюка габун."

[never-sleep]

А точно, ясно

[AV_77]

apriv в сообщении #691958 писал(а):

В любом кольце из обратимости $a^2b^2$ следует обратимость $a$ и $b$.

Каким образом? На основе определения кольца можно показать только, что $a$ имеет правый обратный, а $b$ - левый. Для двусторонней обратимости надо учитывать "внешние" свойства элементов.

Как пример. Пусть $K = \mathrm{End}\ \mathbb{Z}^{\infty}$. Возьмем эндоморфизмы $a, b$, заданные следующим образом:
$a(x_1, x_2, \ldots) = (x_2, \ldots)$,
$b(x_1, x_2, \ldots) = (0, x_1, x_2, \ldots)$.
Тогда $a^2b^2 = 1$ и даже $ab = 1$, но $ba \neq 1$. А если через $p$ обозначить проектор на первую координату, $p(x_1, x_2, \ldots) = (x_1, 0, \ldots)$, то $ap = 0 = pb$.

[apriv]

Виноват, конечно, в произвольном кольце из обратимости $a^2b^2$ следует односторонняя обратимость $a$ и $b$, чего в кольце матриц над коммутативным кольцом (про это, впрочем, в условии не сказано) достаточно для обратимости.