Линейная алгебра, задачи на доказательство.

[never-sleep]

1) $A$ и $B$ -- квадратные матрицы. Ивестно, что матрица $A^2B^2$ обратима. Докажите, что матрицы $A$ и $B$ -- обратимы.

Подозреваю, что такого свойства матриц нет $A^2B^2=(AB)^2$. А если бы было, то доказать было бы нетрудно.

2) $A,B$ -- квадратные матрицы одного и того же порядка, причем $A+B=E$ и $AB=0$.
Докажите, что $A^2=A$.

С чего тут начать?

3) $A$ -- квадратная матрицa второго порядка, такая что $A^2=0$. Докажите, что $E-A$ обратима.

Тут есть мысль взять матрицу

A=$\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}$

$A^2=\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a^2+bc & ab+bd\\ ac+dc & cb+d^2\\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0\\ \end{pmatrix}$

Почему-то мне кажется, что матрица $A$ -- только нулевая может быть. Ну тогда $E-A$ обратима по понятным причинам. Верно?

[AV_77]

В первой $\mathrm{rank}\ AB \leq \min \{ \mathrm{rank}\ A, \mathrm{rank}\ B \}$.
Вторая простая, там не нужно расписывать матрицу, достаточно внимательно посмотреть на условия и что-нибудь перемножить.
В третьей - как и во второй. Можно вспомнить про формулы сокращенного умножения.

[SpBTimes]

1) Можно и просто из теоремы о том, что $\det(AB) = \det(A)\det(B)$

[never-sleep]

1) Спасибо, а как из того, что матрица $(AB)^2$ обратима, следует, что $AB$ обратима?

2) $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2=A^2+B^2=E$

А как дальше, что-то пока не могу понять...

3) Пока вот что вышло. $(E-A)^2=E^2-2AE+A^2=E(E-2A)$

[arseniiv]

never-sleep в сообщении #691936 писал(а):

а как из того, что матрица $(AB)^2$ обратима, следует, что $AB$ обратима?

У вас в задании ведь не $(AB)^2 \equiv ABAB$, а $A^2B^2 \equiv AABB$.

-- Чт мар 07, 2013 01:19:56 --

never-sleep в сообщении #691936 писал(а):

$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2=\ldots$

А теперь давайте аккуратнее:

$$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = AA + AB + BA + BB = \ldots$$

Не для всяких матриц $AB = BA$.

С формулой для (3) такая же беда. Хотя нет беды. Но надо всё равно пояснять, почему её нет.

[мат-ламер]

По поводу второй задачи. Из первого равенства (с суммой) найти $B$ и подставить во второе равенство (с произведением).

[apriv]

Боже мой. В первом задании и ранг, и определитель совершенно ни при чем. В любом кольце из обратимости $a^2b^2$ следует обратимость $a$ и $b$.

[never-sleep]

1) Понял, а можно ли из того, что $A^2B^2 \equiv A\cdot A\cdot B\cdot B$

написать, что $0\ne \det(A^2B^2) \equiv \det(A)\cdot \det(A)\cdot \det(B)\cdot \det(B)\ne 0$?

2)

$(A+B)^2 = (A+B)(A+B) = AA + AB + BA + BB = AA + 0 + BA + BB=$

$=AA+B(A+B)=AA+BE=AA+B=E=A+B$

$AA+B=A+B$ => $AA=A$ чтд

Можно ли так?

3) -- 06.03.2013, 23:32 --

$(E-A)^2=EE-AE-EA+AA=EE-AE-EA=E(E-A)-EA=E-A-A$

Что-то запутался...

[never-sleep]

arseniiv в сообщении #691940 писал(а):

Не для всяких матриц $AB = BA$.

Кстати, а для каких именно матриц это выполняется? Можно ли как-то описать это тип матриц?

[iifat]

1) И правда: $a^2b^2$ обратимо, значит, $a^2b^2c=e$. Обратимость a -- это уже элементарно. Когда носом ткнут.

[Cash]

Во второй задаче достаточно слева умножить на $A$.
В третьей задаче рассмотреть еще и матрицу $E+A$.

[never-sleep]

3) $(E+A)(E-A)=E^2-A^2=E^2=E$

Вот так? Все равно что-то с этой задачей не выходит((

[ИСН]

Каков смысл слов "$E-A$ обратима"? Что она вся из нулей? Что она вся из единиц? Что она может, как сова, повернуть голову на 180°? Ещё что-то?

[never-sleep]

ИСН в сообщении #692153 писал(а):

Каков смысл слов "$E-A$ обратима"? Что она вся из нулей? Что она вся из единиц? Что она может, как сова, повернуть голову на 180°? Ещё что-то?

Это значит, что она имеет обратную. То есть, что существует такая матрица $C$, что $(E-A)C=C(E-A)=E$

[AV_77]

never-sleep в сообщении #692157 писал(а):

То есть, что существует такая матрица $C$, что $(E-A)C=C(E-A)=E$

А чем вас $E+A$ не устраивает? Раз уж

never-sleep в сообщении #692143 писал(а):

3) $(E+A)(E-A)=E^2-A^2=E^2=E$