Доказать, что последовательность не является периодической

[Ktina]

Последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ определяестя так:

$$\begin{cases} a_{2n}=a_n \\ a_{4n-3}=1 \\ a_{4n-1}=0 \end{cases}$$

Доказать, что эта последовательность не является периодической.

Пусть это не так. Тогда наша последовательность имеет период, равный некоторому натуральному $k$.
Но тогда должно выполняться $a_k=a_{3k}$.
Если наибольший нечётный делитель числа $k$ даёт остаток 1 при делении на 4, то наибольший нечётный делитель числа $3k$ должен давать остаток 3 при делении на 4. Но тогда $a_k=1, a_{3k}=0$ -- противоречие.
Аналогично, если наибольший нечётный делитель числа $k$ даёт остаток 3 при делении на 4, то наибольший нечётный делитель числа $3k$ должен давать остаток 1 при делении на 4. Но тогда $a_k=0, a_{3k}=1$ -- противоречие.

Это точно правильное решение?
Спрашиваю потому, что я видела три других решения, и все они длиннее моего.
И ни в одном из трёх решений, что я видела, не используется подстановка, при которой номер элемента последовательности равен её периоду.

[Someone]

Вообще говоря, периодическая часть последовательности может начинаться не с самого начала, а с некоторого члена. То есть, если, как у Вас, $k$ - период, то равенство $a_{l+k}=a_l$ выполняется не для всех натуральных $l$, а для всех $l\geqslant l_0$, где $l_0$ - некоторое натуральное число.

[Ktina]

Someone в сообщении #690831 писал(а):

Вообще говоря, периодическая часть последовательности может начинаться не с самого начала, а с некоторого члена.

Тогда вместо $k$ можно взять $mk$, где $m$ -- достаточно большое натуральное число.
Разве не так?

[Someone]

Можно.

[Ktina]

То есть, взять $mk$ и $3mk$ и проделать с ними то же самое, что с $k$ и $3k$ в моей первой неудачной попытке решения.

-- 03.03.2013, 23:04 --

Someone в сообщении #690835 писал(а):

Можно.

Спасибо.
Я видела в Кванте другое решение (задача 943): http://kvant.mccme.ru/1986/01/resheniya ... nta_ma.htm
И там ещё про какого-то дракона было...

[TOTAL]

Ktina в сообщении #690802 писал(а):

Последовательность $\{a_n\}_{n=1}^{\infty}$ определяестя так:

$$\begin{cases} a_{2n}=a_n \\ a_{4n-3}=1 \\ a_{4n-1}=-1 \end{cases}$$

Доказать, что эта последовательность не является периодической.

Пусть $k=q \cdot 2^m$ - период ($q$ - нечетное, $m \ge 0.$)

По условию в последовательности $a_{p \cdot 2^m}$ знаки чисел чередуются ($p$ пробегает последовательные нечетные числа)

$a_{p \cdot 2^m + 2q \cdot 2^m} = a_{p \cdot 2^m}$ - из-за периодичности
$a_{p \cdot 2^m + 2q \cdot 2^m} = -a_{p \cdot 2^m}$ - из-за чередования знака

Это одно из тех трех длинных решений?