Волновое уравнение: одномерное движение частицы

[ИгорЪ]

ewert
Не понял, минус семь или сто семь,какая разница если уровень дискретный?

[ewert]

ИгорЪ в сообщении #691249 писал(а):

какая разница если уровень дискретный?

А откуда Вы знаете, что он дискретный?... или пусть даже ваще хоть какой, да уровень?...

-- или Вы полагаете, что вообще любое значение энергии -- это некий уровень?...

[ИгорЪ]

Вот вы нашли, к примеру, формулу уровней гармонического осциллятора - у вас есть сомнения что они дискретны?

[g______d]

Есть несколько способов показать, что спектр $[0;+\infty)$ чисто абсолютно непрерывный. На ум приходят четыре

1. Как было сделано выше, найти "собственные функции непрерывного спектра" (а также связанные состояния), составить из них унитарный оператор и явно привести исходный оператор к оператору умножения (т. е. диагонализовать).

2. Воспользоваться теоремой о сохранении существенного спектра при относительно компактном возмущении (каковым является указанный потенциал). Потом, правда, надо будет доказывать, что не может появиться собственных значений бесконечной кратности и сингулярного спектра, но это тоже не сложно.

3. Доказать полноту волнового оператора; при потенциале такого класса это тоже не сложно.

4. Из пушки по воробьям: http://www.math.caltech.edu/SimonPapers/253.pdf

Но в целом я согласен, что сначала нужно определить, что такое непрерывный спектр :)

[Munin]

ewert в сообщении #691163 писал(а):

С того, что никаких других определений там нет.

Точнее, вы не видите. Ну и закончили на этом.

ewert в сообщении #691163 писал(а):

Мне-то приходит. Однако за отсутствием там вообще хоть каких-то формальных определений -- это лучшее, что можно выбрать.

Нет. Лучшее - это вчитаться в смысл. Но людям, поражённым неизлечимо формализмом головного мозга, просто не приходит в голову, что в нематематических книгах не всё должно быть формальным. Таким людям лучше не заниматься критикой учебников, которых они не понимают.

ewert в сообщении #691163 писал(а):

Всё-таки: что мог иметь в виду составитель, задавая вопрос "обосновать непрерывность"?...

Я его понял, а вам объяснить не считаю возможным. Предлагаю вам на этом успокоиться.

ewert в сообщении #691248 писал(а):

Не годится. Вот вычислите, скажем, дискретность или там непрерывность на уровне, допустим, минус семь. А что, чем не уровень?... -- ведь какие-то решения мы там всяко найдём.

Не найдёте. Если вместо болтовни пойдёте и честно попытаетесь найти. Гуглить "спектр оператора".

-- 05.03.2013 00:10:41 --

g______d в сообщении #691258 писал(а):

Но в целом я согласен, что сначала нужно определить, что такое непрерывный спектр :)

Но не методом же придирок не по адресу!

[g______d]

ewert в сообщении #691074 писал(а):

И волновые функции задачки ТС тоже не являются собственными функциями непрерывного спектра -- в смысле Мессиа. Надо объяснять, почему?

Надо. Мне кажется, что его определение как раз для таких ситуаций и предназначено.

-- 05.03.2013, 03:04 --

Munin в сообщении #691275 писал(а):

ewert в сообщении #691163 писал(а):

С того, что никаких других определений там нет.

Точнее, вы не видите. Ну и закончили на этом.

Ну мне тоже кажется, что нет. Для тех потенциалов которые там рассматриваются, (стремящиеся на бесконечности к нулю или к константе) всё более-менее работает, можно пользоваться их определением (что, по-видимому, и предполагалось в задаче ТС) . Но есть куча ситуаций, когда такого подхода недостаточно --- начиная с периодического потенциала.

В параграфе 11 главы 5 упоминается про более строгий подход, но довольно вскользь. Если хотите получить о нем представление, полистайте Рида и Саймона, хотя бы по диагонали.

[Munin]

g______d в сообщении #691289 писал(а):

Ну мне тоже кажется, что нет. Для тех потенциалов которые там рассматриваются, (стремящиеся на бесконечности к нулю или к константе) всё более-менее работает, можно пользоваться их определением (что, по-видимому, и предполагалось в задаче ТС) . Но есть куча ситуаций, когда такого подхода недостаточно --- начиная с периодического потенциала.

Очевидно, полноценное определение дано не иначе чем в учебниках по функану. Но грузить им студента, приступающего к КМ - зачем? И разводить весь этот карнавал с придирками. Вместо того, чтобы объяснить на элементарном уровне простую вещь человеку нуждающемуся в ней, ewert загнал тему в глубокий офтопик. Это непродуктивно и антипедагогично.

[ewert]

ИгорЪ в сообщении #691252 писал(а):

Вот вы нашли, к примеру, формулу уровней гармонического осциллятора - у вас есть сомнения что они дискретны?

А как мы её нашли -- исходя из каких критериев?

g______d в сообщении #691258 писал(а):

Есть несколько способов показать, что спектр $[0;+\infty)$ чисто абсолютно непрерывный. На ум приходят четыре

Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на $\frac1{\sqrt n}\varphi(\frac{x}n)$, где $\varphi(t)$ -- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций $u_n(x)$ очень легко, практически на автомате доказывается, что $\|u_n\|\geqslant\mathrm{const}$, в то время как $\|Hu_n-Eu_n\|\to0$; это ровно и означает, что точка $E$ принадлежит непрерывному спектру.

Однако это доказательство -- откровенно для математиков (хотя и имеет вполне прозрачный физический смысл) и явно не для этой задачки. Здесь явно предполагался ответ "потому что решения ограничены" и никакой другой. Но тогда сам вопрос выглядит довольно тупым -- ежу понятно, что ограничены.

g______d в сообщении #691289 писал(а):

Надо. Мне кажется, что его определение как раз для таких ситуаций и предназначено.

В его "определении" практически сохраняется требование квадратичной суммируемости (боюсь сказать, полностью ли, но практически сохраняется). Конкретно для задачки: любое решение $u(x)$, отвечающее непрерывному спектру, ни в жисть скалярно не умножишь на, скажем, вполне себе нормируемую функцию $u(x)\cdot\frac1{\sqrt{1+x^2}}$. Откуда и вывод: ни одна точка непрерывного спектра не является точкой непрерывного спектра.

[Munin]

ewert в сообщении #691359 писал(а):

А как мы её нашли -- исходя из каких критериев?

Не из критериев, а из формул. Как это делается - написано во всех учебниках.

ewert в сообщении #691359 писал(а):

Здесь явно предполагался ответ "потому что решения ограничены" и никакой другой.

Это явно тупой ответ.

ewert в сообщении #691359 писал(а):

В его "определении" практически сохраняется требование квадратичной суммируемости

Это чушь.

Повторяю, вы вместо помощи начинающему устраиваете срач по левому вопросу. Прекратите.

[ewert]

Munin в сообщении #691365 писал(а):

Это чушь.

Прочитайте то определение и попытайтесь понять, что в нём сказано.

Munin в сообщении #691365 писал(а):

Не из критериев, а из формул.

Ответ на вопрос качественного характера получить из формул в принципе невозможно. Только из критериев, или признаков, или требований, как угодно -- но никак не из формул.

Munin в сообщении #691365 писал(а):

Как это делается - написано во всех учебниках.

Вы хоть что-то конкретное в этой ветке сказать можете?

[Munin]

ewert в сообщении #691368 писал(а):

Ответ на вопрос качественного характера получить из формул в принципе невозможно.

Формула уровней гармонического осциллятора - это ответ количественного характера.

Вопрос о дискретности уровней - это вопрос о дискретности множества решений уравнения. Он решается как вопрос количественного характера, а не качественного.

ewert в сообщении #691368 писал(а):

Вы хоть что-то конкретное в этой ветке сказать можете?

Да, и говорил. С ТС. А не с вами. Это вы захватили чужую ветку неконкретными вопросами, и теперь требуете обсуждать именно их. Подите прочь, это с вашей стороны просто хамство.

[ewert]

Munin в сообщении #691378 писал(а):

Вопрос о дискретности уровней - это вопрос о дискретности множества решений уравнения.

Что такое "уравнение"?

Если это уравнение Шрёдингера, то словосочетание "дискретность множества решений" бессмысленно.

Если это уравнение на спектральный параметр, то для непрерывного спектра его просто не бывает. Для дискретного (правильнее говоря, точечного) -- бывает, но чтобы его выписать, необходимо сначала сформулировать критерий принадлежности точки дискретному спектру.

Попытайтесь проделать хотя бы последнее, раз уж про непрерывный спектр от Вас всё равно ничего внятного не дождёшься.

Munin в сообщении #691378 писал(а):

Формула уровней гармонического осциллятора - это ответ количественного характера.

Эта формула не даёт ответа на вопрос о дискретности спектра -- она просто лишена смысла до того, как дискретность уже установлена. "Они всё путают: и имя, и названья..."

Munin в сообщении #691365 писал(а):

Это явно тупой ответ.

Это не ко мне; это, например, к Мессиа. Почитайте на досуге его 6-й параграф третьей главы.

[Munin]

ewert в сообщении #691393 писал(а):

Что такое "уравнение"?

Если это уравнение Шрёдингера, то словосочетание "дискретность множества решений" бессмысленно.

О. Меня это радует. Общепринятые термины для вас бессмысленны.
Хорошо, а как вы опишете множество решений $-d^2\psi/dx^2+\omega^2x^2\psi=2E\psi$?

ewert в сообщении #691393 писал(а):

Попытайтесь проделать хотя бы последнее

Не буду. Задача для физики - описать множество решений уравнения Шрёдингера.

ewert в сообщении #691393 писал(а):

Эта формула не даёт ответа на вопрос о дискретности спектра

Формула $n\in\mathbb{Z}^+$ не даёт ответа на вопрос о дискретности спектра? Забавно...

ewert в сообщении #691393 писал(а):

"Они всё путают: и имя, и названья..."

Это вы хорошо про себя сказали. Пришли в физический раздел, и стали путать физические термины.

ewert в сообщении #691393 писал(а):

Это не ко мне; это, например, к Мессиа. Почитайте на досуге его 6-й параграф третьей главы.

У Мессиа-то всё нормально написано. Ваш пересказ страдает.

[ewert]

Munin в сообщении #691398 писал(а):

как вы опишете множество решений $-d^2\psi/dx^2+\omega^2x^2\psi=2E\psi$?

Каков вопрос -- таков и ответ. Пожалуйста: множество решений этого уравнения состоит из всех возможных линейных комбинаций двух линейно независимых функций параболического цилиндра.

Вы явно не понимаете разницы между уравнением Шрёдингера, оператором Шрёдингера и спектральной задачей для того или другого.

Munin в сообщении #691398 писал(а):

Формула $n\in\mathbb{Z}^+$

Это не формула.

Munin в сообщении #691398 писал(а):

У Мессиа-то всё нормально написано.

А Вы всё-таки почитайте, почитайте про прямоугольную яму. Он там совершенно недвусмысленно обосновывает непрерывность соответствующих уровней именно ограниченностью решений и ничем иным. Т.е. по Вашей классификации Мессиа -- явно тупой, увы. Ну я не могу запретить Вам так считать.

[Munin]

ewert в сообщении #691407 писал(а):

Вы явно не понимаете разницы между уравнением Шрёдингера, оператором Шрёдингера и спектральной задачей для того или другого.

В физике этого и не нужно.

ewert в сообщении #691407 писал(а):

Это не формула.

Да ну! А что же это?

ewert в сообщении #691407 писал(а):

А Вы всё-таки почитайте, почитайте про прямоугольную яму.

Читал.

ewert в сообщении #691407 писал(а):

Он там совершенно недвусмысленно обосновывает непрерывность соответствующих уровней именно ограниченностью решений и ничем иным.

Обосновать и назвать определением - вещи разные. И если вы вычитали там, что "обосновывает непрерывность - именно ограниченностью решений и ничем иным" - значит, увы, ничего иного вы там просто не смогли прочитать и понять. Ограниченность решений там занимает очень незначительное место.

ewert в сообщении #691407 писал(а):

Т.е. по Вашей классификации Мессиа -- явно тупой, увы.

Ещё раз:

Munin в сообщении #691398 писал(а):

У Мессиа-то всё нормально написано. Ваш пересказ страдает.

И поскольку вы пошли по кругу, как заезженная грампластинка, я из диалога выхожу.

Очень надеюсь, что ТС поймёт хоть что-нибудь. А то вы ему явно старались помешать.