Волновое уравнение: одномерное движение частицы

[max(Im)]

В потенциальной яме конечной глубины $U(x) = -U_0$ при $|x| < a$ и 0 при $|x| > a$ найти уровни энергии и собственные функции частиц в области непрерывного спектра. Почему при $E > 0$ спектр непрерывен?

Уравнение Шредингера:
$-\hbar^2/(2m) d^2\Psi/dx^2 + U(x)\Psi = E\Psi $


Ввел обозначения $k^2 = 2mE/\hbar^2$ и $\varkappa^2 = 2m(E + U_0)/\hbar^2$
получил в I, III $\Psi = A \cos{ka} + B \sin{ka}$, в II $\Psi = C \cos(\varkappa x) + D \sin(\varkappa x)$

К примеру для четной волновой функции получим из условия непрерывности и непрерывности производной, что определитель на коэффициэнты A и C равен нулю:
$ - \varkappa \cos{(ka)} \sin{(\varkappa a)} + k \sin{(ka)} \cos{(\varkappa a)} = 0$ Но что делать дальше непонятно.

[Munin]

На "равнине" вне потенциальной ямы частица движется как свободная, незатухающей волной. Мы можем собрать из таких волн волновой пакет ограниченных размеров, расположенный далеко от ямы. Тогда частица должна вообще никак не "чувствовать" яму. Она может двигаться с любой скоростью, с любым импульсом, с любой энергией (волновой пакет можно взять сколь угодно узким по энергии и по импульсу). Наверное, поэтому.

[max(Im)]

можно ли это показать на основе приведенных мной выкладок, не собирая пакеты на бесконечности?

[Munin]

У вас потенциально ошибка, если вы считаете, что коэффициенты $A$ и $B$ в зоне III будут такими же, как в зоне I.

Дальше, нужно выбрать какую-то нормировку, и всё. У вас получится пространство решений, имеющее непрерывный спектр по энергии, и для каждой энергии двукратное вырождение. В одном базисе это будут чётные и нечётные волны, в другом - набегающие справа или слева. Никаких других условий или ограничений не возникнет, так что любое такое решение будет валидным для данного потенциала. Можно с ними ещё возиться, например, коэффициенты прохождения и отражения искать.

Если интересно, всё это рассмотрено в Мессиа 1 том. Но полезно сначала повозиться самому.

[ewert]

max(Im) в сообщении #690809 писал(а):

Почему при $E > 0$ спектр непрерывен?

А что Вы понимаете под непрерывным спектром?

[Munin]

ewert
Откройте учебник квантовой механики, и не придирайтесь попусту.

[ewert]

Munin в сообщении #690966 писал(а):

Откройте учебник квантовой механики, и не придирайтесь попусту.

А между тем от используемого определения зависит и ответ.

В учебниках по квантам как раз часто даётся вульгарное определение типа "спектр непрерывен, если существуют ограниченные решения". Тогда ответ на тот вопрос тривиален: ограниченные решения существуют потому, что все решения ограничены.

[max(Im)]

Munin
Спасибо, я заметил у себя эту ошибку. Для четной волновой функции, например,
$\Psi_{2}(x) = \cos(\varkappa x),$ решение справа представимо как $\Psi_{3}(x) = A \cos(k x) + B \sin(k x),$ тогда слева будет из соображения симметрии
$\Psi_{1}(x) = A \cos(k x) - B \sin(k x),$ и достаточно сделать склейку в точке $a$

$- \varkappa \sin(\varkappa a) = - kA \sin(k a) + kB \cos(k a), \cos(\varkappa a) = A \cos(k a) + B \sin(k a)$

и получить условие невырожденности определителя
$- k\sin(k a) \sin(k a) - k\cos(k a) \cos(k a) = -k < 0,$ что означает существование четного решения для любой энергии $E>0,$ аналогично можно показать существование нечетного решения, а их суперпозиция
с любыми комплексными коэффициэнтами может дать любую волну. (Вещественное решение, рассмотренное выше соответствует стоячей волне - два потока набегают на яму)

Таким образом при $E > 0$ спектр непрерывен. (Что заранее очевидно в Ландавшице )

[ewert]

max(Im) в сообщении #691023 писал(а):

что означает существование четного решения для любой энергии $E>0,$

А какой смысл было это доказывать -- если это просто общее свойство любого линейного дифференциального уравнения вообще?

[Munin]

ewert в сообщении #691009 писал(а):

В учебниках по квантам как раз часто даётся вульгарное определение типа "спектр непрерывен, если существуют ограниченные решения".

Я не знаю, какие учебники подразумеваете вы, но мне такой чуши ни разу не попадалось. Извольте подкрепить это ссылками.

max(Im)
Советую всё-таки взять себе дополнительно к Ландафшицу Мессиа. Там очень многое раскрыто подробнее, чем в ЛЛ, а кое-что в ЛЛ отсутствует вообще.

[ewert]

Munin в сообщении #691058 писал(а):

Извольте подкрепить это ссылками.

Пожалуйста. Ландафшиц вообще непрерывный спектр никак не определяет, ограничиваясь лишь иллюстрациями. Мессиа пытается подойти к делу формальнее, но получается ещё хуже. Вот его типа определение:

Цитата:

Здесь мы уже не будем предполагать, что собственные решения уравнения имеют ограниченную норму. Потребуем только, чтобы скалярные произведения этих решений на произвольную волновую функцию (т.е. на любую функцию с ограниченной нормой) были ограничены.

Если по существу, то здесь как раз и делается попытка заменить точную нормировку на некий ослабленный вариант ограниченности. Если же подойти к этой попытке формально, то она приводит, например, к тому, что оператор импульса не имеет спектра. И волновые функции задачки ТС тоже не являются собственными функциями непрерывного спектра -- в смысле Мессиа. Надо объяснять, почему?

Я не утверждаю, что в физических книжках все определения должны быть абсолютно точными в математическом смысле. Однако тогда приходится считаться и с последствиями и более конкретно оговаривать критерии хотя бы для конкретных задач. Вот в этой задаче я совершенно честно не понимаю, каким именно способом составитель предполагал проверять принадлежность к непрерывному спектру. Ясно лишь, что сшивание решений не имеет к этому вопросу ни малейшего отношения.

[Munin]

С чего вы взяли, что цитируемые вами свойства - это определения? И вообще, вам не приходит в голову, что непрерывность спектра и нормировка состояний в нём - вообще вещи разные?

[ewert]

Munin в сообщении #691126 писал(а):

С чего вы взяли, что цитируемые вами свойства - это определения?

С того, что никаких других определений там нет.

Munin в сообщении #691126 писал(а):

вам не приходит в голову, что непрерывность спектра и нормировка состояний в нём - вообще вещи разные?

Мне-то приходит. Однако за отсутствием там вообще хоть каких-то формальных определений -- это лучшее, что можно выбрать.

Всё-таки: что мог иметь в виду составитель, задавая вопрос "обосновать непрерывность"?... Какие конкретно слова предполагались в ответ? Мне в голову не приходит никакой содержательной интерпретации этого вопроса, кроме как проверить соответствие сугубо математическому определению непрерывного спектра. Оно бы, в принципе, и несложно, только вот задачка-то (судя по стилистике) -- явно для физиков. Ну и какая у физиков мода на этот счёт?...

[ИгорЪ]

Не пойму предмета спора. А что, простое определение дискретности или непрерывности, исходя из свойств вычисленных уровней энергии системы разве не годится? Или мы не можем решить задачу точно?

[ewert]

ИгорЪ в сообщении #691246 писал(а):

А что, простое определение дискретности или непрерывности, исходя из свойств вычисленных уровней энергии системы разве не годится?

Не годится. Вот вычислите, скажем, дискретность или там непрерывность на уровне, допустим, минус семь. А что, чем не уровень?... -- ведь какие-то решения мы там всяко найдём.