2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 14:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
Может быть, обсуждение просто-напросто отдельно выделить?

ewert в сообщении #691359 писал(а):
Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на $\frac1{\sqrt n}\varphi(\frac{x}n)$, где $\varphi(t)$ -- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций $u_n(x)$ очень легко, практически на автомате доказывается, что $\|u_n\|\geqslant\mathrm{const}$, в то время как $\|Hu_n-Eu_n\|\to0$; это ровно и означает, что точка $E$ принадлежит непрерывному спектру.


Да, так проще, конечно, спасибо.

ewert в сообщении #691359 писал(а):
В его "определении" практически сохраняется требование квадратичной суммируемости (боюсь сказать, полностью ли, но практически сохраняется). Конкретно для задачки: любое решение $u(x)$, отвечающее непрерывному спектру, ни в жисть скалярно не умножишь на, скажем, вполне себе нормируемую функцию $u(x)\cdot\frac1{\sqrt{1+x^2}}$. Откуда и вывод: ни одна точка непрерывного спектра не является точкой непрерывного спектра.


Да, в начале параграфа 9 главы 5 дается это определение. По-моему, понятно, что если скалярное произведение с любой квадратично суммируемой функцией конечно, то и сама функция квадратично суммируема. Принцип равномерной ограниченности.

Но зато дальше в том же параграфе есть другое определение, и оно, вроде бы, корректное (опять же, для достаточно хороших потенциалов) и фактически соответствует определению спектральной меры.

-- 05.03.2013, 16:07 --

Munin в сообщении #691378 писал(а):
Вопрос о дискретности уровней - это вопрос о дискретности множества решений уравнения. Он решается как вопрос количественного характера, а не качественного.


Нет. Обычно дискретность спектра следует из каких-то общих соображений, а вот точно найти сами собственные значения можно только в модельных задачах. Обычно стараются оценить.

-- 05.03.2013, 16:09 --

Munin в сообщении #691398 писал(а):
У Мессиа-то всё нормально написано. Ваш пересказ страдает.


Ну вот не всё там нормально написано. В частности, начало параграфа 9 главы 5; и это как раз студенту было бы полезно знать.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 15:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

g______d в сообщении #691426 писал(а):
Может быть, обсуждение просто-напросто отдельно выделить?

Нелепо было (для "заслуженного участника") с самого начала захватывать тему, да ещё и грубить. Если бы ewert захотел рассмотреть академический вопрос, который его заинтересовал, он бы легко мог открыть для этого новую тему. На деление тем модераторы идут неохотно, увы, к тому же часто это невозможно проделать чётко.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 15:14 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #691426 писал(а):
Но зато дальше в том же параграфе есть другое определение, и оно, вроде бы, корректное (опять же, для достаточно хороших потенциалов) и фактически соответствует определению спектральной меры.

В этом параграфе ничего подобного не заметил. Дальше, в 9-м параграфе 5-й главы, действительно определяется что-то подобное спектральной мере (не называемой по имени). Но это уже гораздо позже; да и в любом случае -- не для столь шаблонной учебной задачки же! Так что вопрос о том, что имел в виду её составитель, остаётся открытым.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 15:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940
В целом (если вернуться к учебной задаче), скорее всего, ошибок не будет если считать дискретный спектр множеством энергий, при которых есть квадратично суммируемое решение (обычно оно при этом будет экспоненциально убывающим), а непрерывный --- множеством энергий, при которых есть ограниченное решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 15:25 
Заслуженный участник


11/05/08
32166
g______d в сообщении #691438 писал(а):
скорее всего, ошибок не будет если считать дискретный спектр множеством энергий, при которых есть квадратично суммируемое решение (обычно оно при этом будет экспоненциально убывающим), а непрерывный --- множеством энергий, при которых есть ограниченное решение.

Первое -- безусловно, связанные состояния всегда и всеми ровно так и определяется, что математиками, что физиками. При этом конкретно экспоненциальность убывания -- это уже лишь бантики, а терминологические нюансы типа различия между дискретным и точечным спектром -- лишь семечки.

Второе -- да, в контексте именно этой задачи скорее всего. Но формально вопрос открыт.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 16:26 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407

(Оффтоп)

ewert в сообщении #691436 писал(а):
Но это уже гораздо позже; да и в любом случае -- не для столь шаблонной учебной задачки же! Так что вопрос о том, что имел в виду её составитель, остаётся открытым.

Вам бы полезно было отличать составителей шаблонных задачек от людей, обращающихся за помощью и разъяснениями...

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 17:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
5940

(Оффтоп)

ewert в сообщении #691359 писал(а):
Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на $\frac1{\sqrt n}\varphi(\frac{x}n)$, где $\varphi(t)$ -- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций $u_n(x)$ очень легко, практически на автомате доказывается, что $\|u_n\|\geqslant\mathrm{const}$, в то время как $\|Hu_n-Eu_n\|\to0$; это ровно и означает, что точка $E$ принадлежит непрерывному спектру.

Так, стоп, это на самом деле ровно и есть мой пункт 2. Вы доказываете на самом деле тоже только про существенный спектр. А дальше что у меня, что у Вас остается доказать, что не бывает бесконечнократных собственных значений; это очевидно из того, что есть только 2 решения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Волновое уравнение: одномерное движение частицы
Сообщение05.03.2013, 17:30 
Заслуженный участник


11/05/08
32166

(Оффтоп)

g______d в сообщении #691474 писал(а):
Так, стоп, это на самом деле ровно и есть мой пункт 2. Вы доказываете на самом деле тоже только про существенный спектр.

На самом деле нет. При положительных энергиях ведь в этой игрушке заведомо нет точечного спектра вообще, независимо от кратности. Так что конкретно тут это критерий принадлежности именно непрерывному спектру. И компактность возмущения тут не при чём -- это чересчур уж тяжёлая артиллерия.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 38 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3

Модераторы: photon, whiterussian, profrotter, Jnrty, Aer, Парджеттер, Eule_A, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group