Может быть, обсуждение просто-напросто отдельно выделить?
Все четыре -- из пушки по воробьям (разве что второй способ идеен, но за ним стоит довольно продвинутая теория). Есть вполне стандартный, элементарный и довольно простой способ доказательства. Надо умножить то кусочно-синусоидальное решение на
, где
-- некоторая гладкая и достаточно быстро убывающая функция. Для полученной последовательности функций
очень легко, практически на автомате доказывается, что
, в то время как
; это ровно и означает, что точка
принадлежит непрерывному спектру.
Да, так проще, конечно, спасибо.
В его "определении" практически сохраняется требование квадратичной суммируемости (боюсь сказать, полностью ли, но практически сохраняется). Конкретно для задачки: любое решение
, отвечающее непрерывному спектру, ни в жисть скалярно не умножишь на, скажем, вполне себе нормируемую функцию
. Откуда и вывод: ни одна точка непрерывного спектра не является точкой непрерывного спектра.
Да, в начале параграфа 9 главы 5 дается это определение. По-моему, понятно, что если скалярное произведение с любой квадратично суммируемой функцией конечно, то и сама функция квадратично суммируема. Принцип равномерной ограниченности.
Но зато дальше в том же параграфе есть другое определение, и оно, вроде бы, корректное (опять же, для достаточно хороших потенциалов) и фактически соответствует определению спектральной меры.
-- 05.03.2013, 16:07 --Вопрос о дискретности уровней - это вопрос о дискретности множества решений уравнения. Он решается как вопрос количественного характера, а не качественного.
Нет. Обычно дискретность спектра следует из каких-то общих соображений, а вот точно найти сами собственные значения можно только в модельных задачах. Обычно стараются оценить.
-- 05.03.2013, 16:09 --У Мессиа-то всё нормально написано. Ваш пересказ страдает.
Ну вот не всё там нормально написано. В частности, начало параграфа 9 главы 5; и это как раз студенту было бы полезно знать.