Теорема Вейерштрасса

[Ward]

Здравствуйте!

Если ряд $f(z)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}f_n(z)$ из функций, голоморфных в некоторой области $D$, сходится равномерно на любом компактном подмножестве этой области, то
1) сумма этого ряда голоморфна в $D$
2) ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке D любое число раз.

Извиняюсь, но я не совсем понимаю что значит равномерная сходимость в компактном подмножестве области $D$?
Просто я эти термины еще не совсем хорошо знаю.

[SpBTimes]

Вы знаете понятие равномерной сходимости ряда на множестве?

[Ward]

Да уважаемый SpBTimes.
Я знаю понятие равномерной сходимости на множестве

[SpBTimes]

А понятие компактного множества?

[Ward]

SpBTimes
Цитирую из книги Шабата

Цитата:

Множества, лежащие в каком-либо круге $\{|z|<R\}, R<\infty$ мы будем называть компактными

Не знаю это то, что нужно или нет

[SpBTimes]

А точно не $|z| \leqslant R$?

[Ward]

Нет там точно стоит знак строгого неравенства. А что?

[SpBTimes]

Это весьма странно. Множество называется компактным, если из любого его покрытия открытыми множествами, можно выделить конечное подпокрытие.
В $R^n$ свойство компактности равносильно наличию ограниченности и замкнутости. Мн-во $C$ - есть ни что иное, как $R^2$, а $|z| < R$ - открытый круг, не являющийся компактом (он предкомпактен, т.к. замыкание компактно)

[Ward]

SpBTimes
Да Вы действительно четко объяснили!
Прочитав Ваше сообщение я ответил на несколько своих вопросов
А так в книге да действительно знак строго неравенства, но я думаю, что не совсем существенно.

[SpBTimes]

Ward в сообщении #690805 писал(а):

но я думаю, что не совсем существенно

Весьма существенно это вообще-то.
Но, думаю, вопрос в начале снят

[Ward]

Если взять допустим функцию $\zeta(s)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^s}$.
Она сходится абсолютно и равномерно при $\operatorname{Re}s>1$, а последнее у нас является областью (т.к. она открыта и линейно связна). Также у нас $f_n(s)=\frac{1}{n^s}$ голоморфны в $D=\{s \mid \operatorname{Re}s>1\}$ ($f_n(s)$ являются $\mathbb{C}$-дифференцируемыми в окрестности каждой точки области $D$ потому они $\mathbb{R}$-дифференцируемы и выполняются условия Коши-Римана).
Также $\zeta(s)$ равномерно сходится в компактных подмножествах области $D$.
Значит $\zeta(s)$ голоморфна в области $D$.
Если я правильно понимаю, то условие 2) теоремы означает это:

$$\zeta^{'}(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^s}\right)^{'}=\sum \limits_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{n^s}$$

Верно?

[SpBTimes]

Верно, только если производную вычислить правильно.
И все это справедливо именно на компактных подмножествах. Иначе требуются доп. исследования и обоснования

[Ward]

SpBTimes в сообщении #690817 писал(а):

И все это справедливо именно на компактных подмножествах. Иначе требуются доп. исследования и обоснования

Это касается дзета-функции или вообще теоремы? Здесь я Вас что-то не понял. Был бы признателен если бы Вы написали, что Вы имели ввиду.
Да производную я неправильно посчитал(знак забыл) и получается, что

$$\zeta'(s)=\sum \limits_{n=1}^{\infty}-\frac{\ln n}{n^s}$$

[SpBTimes]

Мы же обсуждаем применимость теоремы, а не св-ва дзета-функции =)

[Someone]

Ward в сообщении #690791 писал(а):

SpBTimes
Цитирую из книги Шабата

Цитата:

Множества, лежащие в каком-либо круге $\{|z|<R\}, R<\infty$ мы будем называть компактными

Не знаю это то, что нужно или нет

Это всё определение? Там после слова "компактными" что-нибудь ещё не написано?