Несложная лемма из алгебры

[DLL]

В книге лемма. Пусть $I$ и $J$ -- примарные идеалы, $\sqrt I$ = \sqrt J, тогда пересечение идеалов $I$ и $J$ также является примарным идеалом.

Правильно ли я понимаю: достаточно чтобы хотя бы один из идеалов (т.е. $I$ или $J$) был примарным?

[DLL]

Выкладываю свои соображения.

Так как радикалы идеалов $I$ и $J$ совпадают по условию, то ввиду теоремы о радикале пересечения имеем цепочку равенств

$$\sqrt{I \bigcap J} = \sqrt{I} \bigcap \sqrt{J} = \sqrt{I} = \sqrt{J}. $$

Пусть теперь $fg \in I \bigcap J$, значит $fg \in I$. Ввиду примарности $I$, $f \in I$ или $g^m \in I$. Это означает, что $f \in \sqrt{I}$ или $g \in \sqrt{I}$, т.е.
I. $f \in \sqrt{I \bigcap J}$, а значит $f^m \in I \bigcap J $
или
II. $g \in \sqrt{I \bigcap J}$, а значит $g^n \in I \bigcap J.$

Если выполняется II, то все доказано. С другой стороны, такие же рассуждения можно повторить и для идеала J (с учетом его примарности). Далее, если $f$ принадлежит обоим идеалам ($I$ и $J$), то все доказано, так как $f \in I \bigcap J$. Если же $f$ не принадлежит хоть одному идеалу, например $I$, то для него выполняется II.

Поначалу мне казалось, что можно обойтись примарностью одного идеала. Но по ходу написания доказательства понял, что я использую приманость обоих идеалов.

Все-таки интересно, существенно ли в этой лемме примарность обоих идеалов?

[apriv]

DLL в сообщении #691024 писал(а):

Все-таки интересно, существенно ли в этой лемме примарность обоих идеалов?

Да, существенно. Можно привести пример простого идеала $P$ такого, что идеал $P^2$ не является примарным. Тогда пересечение примарного идеала $P$ с идеалом $P^2$ равно $P^2$, и радикалы идеалов $P$ и $P^2$ совпадают.

[DLL]

Спасибо. Еще один вопрос вырисовался. Не получается доказать утверждение.

Пусть $k[x_1, x_2, ..., x_n]$ - кольцо полиномов над полем $k$.
Известно, что идеал $I$ $P$-примарен (т.е. $I$ примарный идеал и $\sqrt{I}=P$). Тогда если $f \notin I$, то частное идеалов $I : <f>$ представляет из себя $P$-примарный идеал.

[DLL]

Что-то нет идей - буду рад подсказке