Выкладываю свои соображения.
Так как радикалы идеалов

и

совпадают по условию, то ввиду теоремы о радикале пересечения имеем цепочку равенств

Пусть теперь

, значит

. Ввиду примарности

,

или

. Это означает, что

или

, т.е.

или

Если выполняется II, то все доказано. С другой стороны, такие же рассуждения можно повторить и для идеала J (с учетом его примарности). Далее, если

принадлежит обоим идеалам (

и

), то все доказано, так как

. Если же

не принадлежит хоть одному идеалу, например

, то для него выполняется II.
Поначалу мне казалось, что можно обойтись примарностью одного идеала. Но по ходу написания доказательства понял, что я использую приманость обоих идеалов.
Все-таки интересно, существенно ли в этой лемме примарность обоих идеалов?