задача по кольцам

[Lana291]

Если R бесконечное кольцо, то либо в R нет делителей нуля, либо их там бесконечно много.

[Mitrius_Math]

Может быть, предположить противное: делители нуля есть, и их число конечно?

[_Lana_]

Хорошо, допустим, что их конечно:
по принципу дирихле существует подмножество X(с бесконечным количеством элементов) множества R, и элемент x из X , такой что ax=ay, (a здесь делитель нуля, а y это любой элемент из X). Может из этого можно, что-нибудь вывести?

[devgen]

Пусть в бесконечном кольце конечное число делителей нуля. Линейная комбинация делителей нуля в кольце тоже должна быть делителем нуля. Т.к. в кольце бесконечно много элементов, получаем бесконечно много линейных комбинаций. Значит предположение неверно и либо нет делителей нуля, либо бесконечно много.

[AV_77]

devgen в сообщении #688843 писал(а):

Линейная комбинация делителей нуля в кольце тоже должна быть делителем нуля.

Чего это вдруг? Например в кольце $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ с покомпонентными сложением и умножением элементы $(1, 0)$ и $(0, 1)$ делители нуля. А вот их сумма $(1, 1)$ так вообще единицей кольца является.

[Deggial]

_Lana_, замечание за неправильное оформление формул. Для набора формул следует использовать ТеХ. Инструкции по оформлению формул здесь или здесь (или в этом видеоролике).

[devgen]

AV_77

Да, вы правы, перебор. Но с умножением на элементы кольца тоже рассуждение прокатывает.

[Joker_vD]

devgen в сообщении #688908 писал(а):

Но с умножением на элементы кольца тоже рассуждение прокатывает.

Так ведь умножение на делитель нуля ой как неинъективно...

[AV_77]

devgen в сообщении #688908 писал(а):

Но с умножением на элементы кольца тоже рассуждение прокатывает.

Если кольцо ассоциативное, то да, произведение снова будет делителем нуля. Но ваше рассуждение еще не решение. Скажем, рассматривая какой-либо конечный модуль $M$ над $\mathbb{Z}$ мы можем составить бесконечное число выражений вида $nx$, где $n \in \mathbb{Z}$ и $x \in M$. Но это же не означает, что модуль $M$ бесконечен. Так и в рассматриваемой задаче.

В ассоциативном случае с этих произведений надо начать, а потом получить противоречие. Если кольцо не ассоциативно, то не знаю.

[devgen]

Joker

Честно говоря, не понимаю почему. Вроде бы от остальных элементов кольца он отличается только тем, что при умножении на другой делитель нуля будет 0.

AV_77
Если не коммутативно, то также можно справа/слева умножать на правый-левый нуль, главное ведь ассоциативность вроде.

Да, нужно еще подумать.

[Deggial]

devgen в сообщении #688920 писал(а):

Joker

devgen, замечание за искажение ника. Для воспроизведения ника в тексте достаточно щелкнуть по нему мышкой.

[muzeum]

Уточнение формулировки:
Если в бесконечном ассоциативном кольце имеются делители нуля, то имеется бесконечно много правых (левых) делителей нуля.
Если $ab=0$, то $abA=0$. Если множество $bA$ бесконечно, то это то, что требовалось. Конечность этого множества противоречит бесконечности кольца.

[AV_77]

muzeum в сообщении #688962 писал(а):

Если множество $bA$ бесконечно, то это то, что требовалось. Конечность этого множества противоречит бесконечности кольца.

Почему? Пусть, например, $A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_4$ с покомпонентными операциями. Возьмем, например, делитель нуля $b = (0, 1)$. Тогда $bA = \{ (0, 0),\ (0, 1), \ (0, 2),\ (0, 3) \}$ - вполне себе конечное множество.

[devgen]

AV_77
Ну тогда мы возьмём $Aa$

[AV_77]

Это не поможет для случая $A = \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}_2 \times \mathbb{Z}_2$, $a = (0, 1, 0)$ и $b = (0, 0, 1)$. Сам вывод, что из бесконечности кольца следует, что множество $bA$ бесконечно, неверен.