задача по кольцам

[devgen]

AV_77
Для одномерных это должно быть верно, вроде некуда убегать.

Для многомерных найдем такой делитель, у которого координата соответствующая бесконечному множеству в декартовом произведении не нулевая.

[NQD]

AV_77 в сообщении #688913 писал(а):

Если кольцо не ассоциативно, то не знаю.

Такие вроде ни в одном стандартном курсе не преподают?

[AV_77]

NQD в сообщении #689018 писал(а):

Такие вроде ни в одном стандартном курсе не преподают?

Вроде да, но в задании ничего про это не сказано. Так что все возможно, лучше уточнить.

devgen в сообщении #688998 писал(а):

Для многомерных найдем такой делитель, у которого координата соответствующая бесконечному множеству в декартовом произведении не нулевая.

Ну возьмите $\mathbb{Z}_2^{\infty}$. Здесь то уж точно все элементы конечного порядка.

PS. Если делителей нуля конечное число, то найдутся такие три неделителя нуля $a, b \neq c$, что $a-b = a-c$, что невозможно.

[devgen]

AV_77
Не могу понять откуда это следует

[devgen]

Цитата:

PS. Если делителей нуля конечное число, то найдутся такие три неделителя нуля $a, b \neq c$, что $a-b = a-c$, что невозможно.

Подскажите кто-нибудь, как к этому придти.

[AV_77]

Я решал следующим образом.

Предположим, что делителей нуля конечное число. Пусть $X = \{ x_1, \ldots, x_n \}$ - делители нуля, $P$ - неделители нуля. Так как кольцо бесконечно, то и $P$ бесконечно. Каждый элемент $a \in P$ действует на множестве $X$ умножением слева, причем из $ax_i = ax_j$ следует, что $i = j$, то есть $a$ "переставляет" элементы из $X$. Стало быть имеем гомоморфизм $P \to S_n$. Так как $S_n$ конечна, то найдется бесконечное подмножество $P' \subseteq P$, элементы которого действуют на $X$ одинаковым образом. Пусть теперь $a, b \in P'$ - различные элементы. Тогда из $ax_i = bx_i$, следует, что $a-b$ делитель нуля. Зафиксируем $a$. Так как $P'$ бесконечно, а разности $a - b \in X$, где $b \in P'$, пробегают конечное множество, то найдутся такие $b \neq c$, что $a-b = a-c$. Но отсюда следует, что $b = c$ - противоречие.

[devgen]

AV_77
Спасибо, разобрался