Как вычислить синус вручную?

[Ktina]

Легко вычислить вручную, скажем $\sin 1$ через Маклорена. Достаточно трёх первых членов, чтобы погрешность не превышала $|\frac{1}{7!}|$
А как быть с синусами больших чисел? Допустим, я хочу на бумажке (без калькулятора!) сосчитать $\sin 2013$ (именно радиан, а не градусов). Трёх первых членов ряда Маклорена тут явно не достаточно. Вычислять вручную остаток по модулю $2\pi$ тоже не совсем удобно.
Есть ли способ попроще?
И кстати, как это делает калькулятор?
Слышала про какие-то ряды Мюллера, но в Сети найти их не смогла.

[AV_77]

http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin+x
В разделе "Serial representation" нажать на "More".

[Ktina]

AV_77,
А если, всё-таки, на бумаге?

[mustang]

Ну когда я в институте с подобным сталкивался, то использовалась периодичность функции. Ну и плюс формулы суммы/разности.

Т.е. задача получить как можно более маленький по абсолютной величине аргумент.

Число Пи нужно брать, если не ошибаюсь, с точностью 6 знаков после запятой.

[Ktina]

mustang,
Спасибо!

[Cash]

(Оффтоп)

Вспомнилась история из книги Вы конечно шутите, мистер Фейнман
когда Фейнман за шестьдесят секунд давал ответ с точностью до 10 процентов на любую задачу, которую кто-либо сумеет сформулировать за десять секунд. И всё у него шло хорошо, покуда не пришел один умник и не предложил найти тангенс от 10 в сотой степени.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

$0,40123196199081435418575434365329...$ ;-))

[Евгений Машеров]

Только приводить к малым. Вычитая. Никакие ряды быстро при таких значениях сходиться не будут. Вот как раз на такой случай и пригодятся мнемоники вида "Это я знаю и помню прекрасно - пи многие знаки мне лишни напрасны".
После приведения к первой четверти (ну, или к четвёртой, лишь бы поменьше) можно вспомнить формулы кратных углов. Например,
$\sin 3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha$
И считать через ряд угол, составляющий 1/27 или хотя бы 1/9 исходного.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

Не понимаю и терпеть не могу мнемоники для запоминания цифр. Ну неужели трудно запомнить десяток (а больше никогда и не нужно) цифр $\pi$ или $e$? То ли дело фразы «Удав, увы, в аду» и «Удавился у всех на виду», предназначенные для запоминания приёма интегрирования по частям.

[Mysterious Light]

(Оффтоп)

Мнемоники хороши тем, что позволяют образно запоминать, казалось бы, случайные данные. Для каждого человека удобнее своя мнемонима, потому что у каждого свой ассоциативный ряд, свой опыт, своя жизнь.
Я, к примеру, сложно запоминаю фразы с точностью до порядка всех слов, могу иногда поменять слово/фразу на созвучный синоним, что недопустимо при последующем «декодировании» по длине слов, как в фразе Евгения Машерова (ничего, что я ник склоняю?). Поэтому люблю стишки с явным упоминанием циферок для правильного запоминания оных:

Цитата:

Нужно только постараться
и запомнить всё как есть:
три, четырнадцать, пятнадцать,
девяносто два и шесть!

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Это не ник. Это имя и фамилия...

А мнемонику я приводил к тому, что крайне редко в практических расчётах нужны константы более 4-5 знаков (адмирал Макаров вона уволил начальника Николаевской верфи за то, что у него инженеры считали с двумя знаками более, чем было нужно), но вот такая задача исключение, и мнемоника с "Пи многие знаки мне лишни напрасны" сама себе противоречит.

[ИСН]

(Оффтоп)

Aritaborian в сообщении #688830 писал(а):

То ли дело фразы «Удав, увы, в аду» и «Удавился у всех на виду», предназначенные для запоминания приёма интегрирования по частям.

Каким образом, во-первых, они тут помогают? А во-вторых, зачем? Зачем? Что там запоминать? Это же интегрирование по частям. Оно выводится.
Иное дело цифры.

[Aritaborian]

(Оффтоп)

ИСН
Знаю, что выводится, но тем не менее, на буквы посмотрите внимательнее: на последовательность, в которой в приведённых фразах идут буквы в, д, у.
Что до цифр, фо хум хау, как говорят китайцы ;-) Я цифры $\pi$, $e$и некоторых других констант давно затвердил наизусть и искренне считаю, что мнемоника тут только вредит.
Вспоминается анекдот о цифрах числа $e$ ;-)

[ewert]

Евгений Машеров в сообщении #688841 писал(а):

(адмирал Макаров вона уволил начальника Николаевской верфи за то, что у него инженеры считали с двумя знаками более, чем было нужно)

Ой вряд ли то был Макаров. Он ведь не был ни математиком, ни чиновником. И у него не было ни стимула, ни административного ресурса увольнять начальника какой-то верфи.

Вот Крылов -- это да, однажды уволил. Но и то не начальника верфи, а всего лишь главного корабельного инженера (как раз в его компетенцию это входило -- он заведовал кораблестроением).

Но и даже при всём почтении к Крылову его рекомендации столетней давности не следует воспринимать буквально. Вот попробуйте-ка потребовать от процессора удерживать лишь столько значащих цифр, сколько необходимо. Боюсь, что он несколько изумится.

[Евгений Машеров]

Крылов, конечно. Сорри.

-- 28 фев 2013, 08:50 --

А процессоры с неизменной разрядностью - это уже продукт нынешних времён, когда дешевле сделать единообразно, а не экономить на деталях. Поэтому считают "внутре" даже не на двойной точности, а на "расширенной", 10-байтовой, а двойная или одинарная - только формат хранения.
А вот у 360-й архитектуры ещё была двойная и одинарная точности вычислений, вторая раза в полтора быстрее. Ну, а для современных разница разве что для DSP и прочих спецпроцессоров. Да, и ещё была такая штука, как "не нормализовать числа с плавающей точкой". Иногда употреблялось для контроля точности вычислений.
Можно ещё и "Мир" вспомнить, где вообще можно было точность (в смысле разрядности) выбирать достаточно произвольно.