подсчитать матричку

[voipp]

какой может быть максимальный определитель матрицы 3х3, если она состоит из 0 и 1 ?
У меня есть идея взять 9 производных приравнять к 0 и выразить переменные! ) но это бред кажется. больше идей нет, спасите

[dmitriy11]

Определитель - это объем параллелепипеда, натянутый на векторы, из которых состоит соответствующая матрица.
К примеру, если координаты векторов $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ и $(0,0,1)$ - то это куб объема 1. Соответствующая матрица будет иметь вид

$$ \left(\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right) $$

определитель которой равен 1.
Можно ли построить такой параллелепипед в 3-хмерном пространстве, образующие векторы которого имеют координаты, состоящие из 0 и 1, у которого будет объем бОльше, чем у приведенного мною примера с кубом? Вообще-то да, к примеру, с векторами $(1,1,0)$, $(0,1,1)$ и $(1,0,1)$ получится параллелепипед, у которого объем будет больше. А существует ли еще больше?

[voipp]

пишут, что "куб- это наиболее оптимальная форма для наибольшего объема параллелепипеда". Значит надо построить куб на векторах наибольшей возможной длины. первый из них - (1,1,1).
Не, это неверно

[ewert]

voipp в сообщении #687808 писал(а):

но это бред кажется.

Правильно кажется.

Тут тупо перебор. Очевидно, что максимум не может больше трёх (это следует хотя бы из разложения по первой строке, при котором миноры не могут принимать других значений, кроме 0,1,-1). Если ещё чуть подумать, то и тройки результат не достигнет (невозможно распределить нули и единички по двум нижним строкам так, чтобы все миноры были бы ненулевыми и при этом их знаки чередовались бы). С другой стороны, ясно, что единичку в качестве результата получить запросто. И остаётся единственный вопрос: возможна ли двойка?...

А это уже тупой перебор. Вот и перебирайте.

[voipp]

Если разложить определитель в сумму подстановок, то

$a_{11}a_{22}a_{33} - a_{11}a_{23}a_{32} - a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} - a_{13}a_{22}a_{31}$

сразу видно, что каждое слагаемое равно либо 1 либо 0. Чтобы сделать 3 , необходимо чтобы положительные элементы шли с 1, остальные - с 0. Но занулить остальные не получится, не занулив при этом положительные.
Очевидно, что хотя бы одно слагаемое с минусом должно уйти. Зануляем первое, тогда один из положительных слагаемых тоже уйдет. Зануляем остальные отрицательные так, что бы соответствующий элемент был в нашем зануленном положительном. Ну это как один из способов.

[devgen]

Можно написать матрицу с девятью переменными и расписать определитель по строке или столбцу. Понятно, что определитель из 0 и 1 для матрицы с рангом 2 может быть 0;1;(-1). Тут сразу можно дать грубую оценку, что определитель не может быть больше трёх. Далее, у нас есть два слагаемых с (-1) в чётной степени и одно в нечетной. Что делать с (-1) в нечетной, не ясно: либо нужно занулить -- это можно сделать двумя способами, либо хочется сделать определитель (-1). Зато всё прозрачно с остальными слагаемыми. Пользуясь этим, и тем, что в итоге строки не должны быть совпадающими, матрица выписывается.

Для больших размерностей этот способ уже плох, хочется чего-то получше.

[ИСН]

Для больших там сложно.
http://mathworld.wolfram.com/HadamardsM ... oblem.html

[bot]

Обсуждали - Сложно