Антигравитации в ОТО пока нет

[pc20b]

Возможна ли антигравитация, т.е. гравитационное отталкивание? Этот вопрос поднят в теме "Почему гравитация притягивает".
На него, со ссылкой на экспериментальные данные астрофизиков 98 года и их теоретическую интерпретацию, скажем, в УФН'е 2001 г., т.н. "Космический вакуум", намечается положительный ответ :

Someone

Цитата:

Почему всегда притягивает? Не всегда. Если пространство заполнено средой с отрицательным давлением, то притяжение вполне может превратиться в отталкивание. Да и вакуум, по современным данным, имеет отрицательное давление (эффект Казимира), так что он создаёт гравитационное отталкивание, которое проявляется на очень больших (космологических) расстояниях. Возможно, именно по этой причине Вселенная расширяется ускоренно, а не замедленно.

http://www.astronet.ru/db/msg/1174484

Цитата:

Вакуум-подобная среда с отрицательным давлением (тот же вакуум) создаёт гравитационное отталкивание, пропорциональное расстоянию и сколько-нибудь заметное только на достаточно больших расстояниях (в случае вакуума речь идёт о миллиардах световых лет; в пределах Солнечной системы или даже Галактики отталкивание пренебрежимо мало).

Эта ситуация любопытна - проинтерпретировать "расширение с ускорением", вроде бы наблюдаемое, как "действие космического вакуума высокой плотности", которое "пересилило действие обычной материи" и "ведет к полной статике". Причем, кандидатом в генераторы этого "космического вакуума" выступает т.н. "космологический $\Lambda$ - член".

Пока не сомневаясь в верности ОТО как единственной пока модели, все предсказания которой подтверждаются в эксперименте с высокой точностью, можно задать себе вопрос : при каких условиях в ОТО существует заполненный какой-то материей статический мир постоянной кривизны?

Т.е. "вечная и бесконечная вселенная", неизменная во времени и пространстве, мечта философов? Возможна ли антигравитация (гравитационное отталкивание).

Т.к. дискуссия в вышеназванной теме ушла в сторону квантов, то, чтобы выделить задачу в чистом виде, мы решили открыть отдельную тему. Кратко изложим постановку задачи и результат решения.

Рассмотрим 4-пространство-время с центрально симметричной метрикой

$$ds^2=g_{00}dt^2+g_{11}dr^2-R^2(t,r)d\sigma ^2$$

,

$$d\sigma ^2=d\theta ^2-sin^2\theta d\varphi ^2$$

с условиями однородности и статичности : $_{,\theta }=_{,\varphi} =0$, $_{,t}=0$,-
которое образовано материей с постоянными во времени и пространстве : плотностью энергии $\varepsilon _s$, давлением $p_s$, плотностью энергии электромагнитного поля $\varepsilon _f$, удовлетворяющей уравнениям Эйнштейна с "космологическим членом" :

$$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$$

.

Здесь

$$G_{\mu \nu }$$

- тензор Эйнштейна, $\kappa =1$ - постоянная Эйнштейна,

$$T_{\mu \nu }$$

- тензор энергии-импульса данной материи.
Если слагаемое с космологическим членом $\Lambda$ перенести в правую часть уравнений, то возникает суммарный эквивалентный тензор энергии-импульса, отличные от нуля смешанные диагональные компоненты которого равны :

$$T_{\mu }^{\nu} = diag (\varepsilon _f+\varepsilon _s-\Lambda; \varepsilon _f - p_s-\Lambda; -\varepsilon _f-p_s-\Lambda; -\varepsilon _f-p_s-\Lambda )$$

.

Отсюда видно, что, как это общепринято в ОТО, космологический член эквивалентен дополнительному материальному источнику гравитационного поля с постоянной плотностью энергии

$$\varepsilon_{\Lambda}=-\Lambda $$

, с постоянным изотропным давлением, равным

$$p_{\Lambda }=\Lambda$$

.

Если в дальнейшем условиться считать плотность энергии любой материи положительной действительной величиной, то отсюда вытекает, что мы будем рассматривать случай с $\Lambda <0$. А отсюда необходимо следует, что давление этой материи с ультрарелятивистским уравнением состояния :

$$\varepsilon _{\Lambda }=-p_{\Lambda }$$

, - отрицательно :

$$p_{\Lambda }=\Lambda <0$$

.

Из условия статичности мира и постоянства его гауссовой 2-кривизны сразу следует, что введенное нами для общности вещество также должно обладать таким же экзотическим уравнением состояния, и тоже отрицательным давлением :

$$p_s=-\varepsilon _s$$

.

Т.е. оно по сути ничем не отличается от экзотической материи $\Lambda $ - члена.
Точное решение уравнений Эйнштейна для данной метрики выглядит так :

(1)

$$ds^2 = C_1ch^2(r\sqrt {\varepsilon _f-\varepsilon _s-\Lambda}+C_2)dt^2-dr^2-R^2d\sigma ^2$$

,

где

(2)

$$R^2=\frac {1}{\varepsilon_f+\varepsilon _s+\Lambda}$$

,

где $C_1$, $C_2$ - константы интегрирования.

(продолжение следует)

[pc20b]

Данное решение для материи "космического вакуума" в присутствии другой материи похоже на известное решение де Ситтера с $\Lambda $ - членом, отличается от него лишь наличием электромагнитного поля и заменой тригонометрических функций на гиперболические.

Выводы.
1) Чистого "космического вакуума" в отсутствии другой материи (электромагнитного поля и (или) вещества с отрицательной плотностью энергии) формирующего неограниченный статический мир постоянной отрицательной кривизны, не существует :

если $\varepsilon _f=\varepsilon _s=0$, то квадрат радиуса гауссовой кривизны (2)

$$R^2=\frac {1}{\varepsilon_f+\varepsilon _s+\Lambda}$$

становится при $\Lambda <0$, т.е. при принятом условии положительности плотности энергии "космического вакуума", $\varepsilon _{\Lambda }=-\Lambda >0$, отрицательным :

$$R^2=\frac {1}{\Lambda}<0$$

. Чего быть не должно.

2) Неограниченный статический мир постоянной кривизны с "космическим вакуумом" может существовать только при наличии другой материи, причем, обязательно присутствие электромагнитного поля :

Допустим, что $\varepsilon _f=0$. Тогда из выражения для

$$g_{00}$$

из (1),

$$g_{00}=C_1ch^2(r\sqrt {\varepsilon _f-\varepsilon _s-\Lambda}+C_2)$$

,

т.к. под корнем должна стоять положительная величина, следует, что

$$\varepsilon _{\Lambda }>\varepsilon _s$$

,

а из выражения (2) для положительного квадрата радиуса кривизны будет следовать противоположное неравенство

$$\varepsilon _{\Lambda }<\varepsilon _s$$

,

чего быть не может.

3) Плотность энергии "космического вакуума" не может превышать суммарной плотности энергии электромагнитного поля и вещества.

Это следует непосредственно из выражения (2), ввиду положительности квадрата радиуса кривизны :

$$\varepsilon _f+\varepsilon _s>\varepsilon_{\Lambda }=|\Lambda|$$

.

4) Т.о., требуемой для объяснения в статье "Космический вакуум" ситуации" разбегания с ускорением" , когда на поздних стадиях расширения вселенной энергия "космического вакуума" превалирует над энергией остальной материи и определяет характер эволюции вселенной (её стремление к статическому неограниченному миру постоянной кривизны), в ОТО не существует. Надо искать другое объяснение экспериментальным данным.

5) Наконец, т.к. след тензора энергии-импульса порождающей данный мир материи, как в случае "чистого космического вакуума", равный $-4\Lambda $, так и в случае смеси "космического вакуума" с обычной (но экзотической) материей, равный

$$\varepsilon _s-3p_s-4\Lambda $$

, положителен, то в такой асимптотике гравитационного отталкивания не будет.

Можно также отметить, что экзотичность данной системы, заключающаяся в наличии отрицательного давления при ультрарелятивистском уравнении состояния как вещества, так и материи $\Lambda $ - члена, физически может быть проинтерпретирована как наличие сильного давления "извне". Другими словами, данная "вечная бесконечная вселенная" могла бы существовать только при наличии "по ту сторонних сил", удерживающих её в этом неизменном состоянии. Что, согласитесь, действительно, пока экзотично.

[epros]

Я не понял, к чему Вы всё это?

"Антигравитация" в ОТО есть - даже приводился пример голой сингулярности Райснера - Нордстрёма. Другое дело, что механизов образования таких объектов неизвестно (ничто не заставит столь сильно заряженное тело сколлапсировать), поэтому они считаются "нефизичными". К тому же если бы такой объект и был, его заряд очень быстро был бы нейтрализован за счёт набора противоположного заряда из окружающей среды и он бы превратился в обычную чёрную дыру.

Что касается статичности Вселенной, то первые космологические решения были именно таковы - взять то же самое решение де-Ситтера. Эйнштейн даже искусственно ввёл в свою теорию космологический член, чтобы обеспечить возможность таких решения. Впоследствии он назвал его своей "самой большой ошибкой" и признал, что Вселенная вовсе не обязана быть статичной. Вы правы в том, что введение космологического члена соответствует среде с отрицательным давлением (сейчас её называют "тёмной энергией", есть соображения, приводящие к выводу о необходимости её существования, но пока нет никаких реальных подходов к определению того, что это такое). Сейчас разрабатывать теорию статической Вселенной бессмысленно, ибо это противоречит множеству наблюдаемых фактов.

Что касается роли электромагнетизма, то она ничем особенным сравнительно с другими видами взаимодействий не выделена.

[pc20b]

К чему? К тому, что астрофизические данные, интерпретируемые как "разбегание с ускорением" (что якобы противоречит ОТО) пытаются объяснить с помощью энергии "космического вакуума", порождённого $\Lambda $ - членом и обладающего, помимо общеизвестного "отрицательного давления", ещё и "гравитационным отталкиванием".

На примере приведённого решения уравнений ОТО показано, что это не так.

Кстати, Вы не правы :

Цитата:

"Антигравитация" в ОТО есть - даже приводился пример голой сингулярности Райснера - Нордстрёма.

Никакой "антигравитации" в решении Рейсснера - Нордстрема ни при "оголенной" сингулярности, когда $e>\sqrt {k}m_0$, ни в противоположном случае, когда она спрятана за горизонтом, нет.

[epros]

pc20b писал(а):

К чему? К тому, что астрофизические данные, интерпретируемые как "разбегание с ускорением" (что якобы противоречит ОТО) пытаются объяснить с помощью энергии "космического вакуума", порождённого $\Lambda $ - членом и обладающего, помимо общеизвестного "отрицательного давления", ещё и "гравитационным отталкиванием".

Разбегание с ускорением не противоречит ОТО. Оно противоречит нашим представлениям о свойствах тяготеющей материи, заполняющей Вселенную. В частности, именно из этих данных делается вывод о существовании "тёмной энергии", вносящей существенный вклад в $T_{ij}$.

pc20b писал(а):

На примере приведённого решения уравнений ОТО показано, что это не так.

Что показано? Вы привели какие-то соображения о том, что среда с отрицательным давлением может привести к гравитационному расширению. Вывод известный. И что?

pc20b писал(а):

Кстати, Вы не правы :

Цитата:

"Антигравитация" в ОТО есть - даже приводился пример голой сингулярности Райснера - Нордстрёма.

Никакой "антигравитации" в решении Рейсснера - Нордстрема ни при "оголенной" сингулярности, когда $e>\sqrt {k}m_0$, ни в противоположном случае, когда она спрятана за горизонтом, нет.

Ну да? И что же там есть вблизи сингулярности? Гравитационное притяжение?

[pc20b]

epros

Цитата:

Разбегание с ускорением не противоречит ОТО. Оно противоречит нашим представлениям о свойствах тяготеющей материи, заполняющей Вселенную. В частности, именно из этих данных делается вывод о существовании "тёмной энергии", вносящей существенный вклад в $T_{ij}$.

Тем не менее, в работе "Космический вакуум" (УФН т.171, №11, 2001) именно как расхождение с ОТО интерпретируются эти экспериментальные данные. И вопрос к Вам, как
"существовании "тёмной энергии", вносящей существенный вклад в $T_{ij}$", может сменить расширение с замедлением на "расширение с ускорением"?

Цитата:

Что показано? Вы привели какие-то соображения о том, что среда с отрицательным давлением может привести к гравитационному расширению. Вывод известный. И что?

Немного не так. Вы невнимательно, очевидно, прочитали выводы. Из данного решения следует, что "космического вакуума", обладающего аномальными свойствами, которыми предпринята попытка объяснить "расширение с ускорением", может не быть с точки зрения ОТО :

Во-первых, показано, что вакуумного "космического вакуума" без присутствия электромагнитного поля, может не быть.

Во-вторых, показано, что требуемого в модели "Космический вакуум" превалирования энергии поля $\Lambda $- члена над энергией остальной материи, чтобы замедление расширения сменилось ускорением расширения, может не быть.

В-третьих, показано, что никакого "гравитационного отталкивания" (антигравитации") даже при наличии $\Lambda $ - члена в асимптотике неограниченного статического мира постоянной кривизны (к которому должна прийти эволюция вселенной, подверженной "расширению с ускорением"), может не быть.

Говорите, "вывод известный". Вроде бы получается не так. Эти выводы не являются "известными". Поэтому они и выложены для обсуждения. А то, что среда с отрицательным давлением может привести к расширению, это, действительно, известно. Но проблема-то не в этом.

Цитата:

Цитата:

pc20b писал(а):
Никакой "антигравитации" в решении Рейсснера - Нордстрема ни при "оголенной" сингулярности, когда $e>\sqrt {k}m_0$, ни в противоположном случае, когда она спрятана за горизонтом, нет.

Ну да? И что же там есть вблизи сингулярности? Гравитационное притяжение?

Это Вы у нас спрашиваете? Данное предложение написано в ответ на Ваше :

Цитата:

"Антигравитация" в ОТО есть - даже приводился пример голой сингулярности Райснера - Нордстрёма.

Поэтому вопрос именно к Вам : что Вы имеете в виду под "антигравитацией" в решении Рейсснера-Нордстрема при голой сингулярности?

[epros]

pc20b писал(а):

Тем не менее, в работе "Космический вакуум" (УФН т.171, №11, 2001) именно как расхождение с ОТО интерпретируются эти экспериментальные данные.

Это проблема автора (и рецензентов). Там тоже не всегда всё идеально. Я бы оценил это как "неточность в формулировках". У самой ОТО никаких проблем с объяснением аномального расширения нет. Проблема заключается в том, где взять тяготеющую материю с такими свойствами, которые обеспечат данное расширение.

pc20b писал(а):

как "существовании "тёмной энергии", вносящей существенный вклад в $T_{ij}$", может сменить расширение с замедлением на "расширение с ускорением"?

Возьмите материю с соответствующими свойствами и получите нужный процесс расширения. Например, при понижении плотности в этой среде изменяется давление - вот Вам и ускорение расширения.

pc20b писал(а):

Во-первых, показано, что вакуумного "космического вакуума" без присутствия электромагнитного поля, может не быть.

Не понимаю, о каком "вакуумном вакууме" идёт речь и причём тут именно электромагнетизм?

pc20b писал(а):

Во-вторых, показано, что требуемого в модели "Космический вакуум" превалирования энергии поля $\Lambda $- члена над энергией остальной материи, чтобы замедление расширения сменилось ускорением расширения, может не быть.

И что? Лямбда-член - это искусственный выверт, нарушающий внутреннюю логику теории. Конечно же его "может не быть", поскольку его с успехом можно заменить соответствующей добавкой к $T_{ij}$.

pc20b писал(а):

В-третьих, показано, что никакого "гравитационного отталкивания" (антигравитации") даже при наличии $\Lambda $ - члена в асимптотике неограниченного статического мира постоянной кривизны (к которому должна прийти эволюция вселенной, подверженной "расширению с ускорением"), может не быть.

Вообще не понял о чём речь.

pc20b писал(а):

epros писал(а):

Ну да? И что же там есть вблизи сингулярности? Гравитационное притяжение?

Это Вы у нас спрашиваете?

У Вас, у Вас. Вы же отрицаете наличие около голой сингулярности анти-гравитации. Скажите тогда, какая гравитация там есть.

pc20b писал(а):

Поэтому вопрос именно к Вам : что Вы имеете в виду под "антигравитацией" в решении Рейсснера-Нордстрема при голой сингулярности?

А что тут непонятного? "Антигравитация" - это отталкивание тел от центра тяготения.

[pc20b]

epros,
В решении Рейсснера - Нордстрема вблизи сингулярности отталкивания ("антигравитации") нет. Только фокусировка (при $r\geqslant 0$, естественно).

P.S. Ваши последние ответы свидетельствуют, что Вы не совсем вникли в задачу. Просьба повнимательнее познакомиться с выводами из данного решения.

Добавлено спустя 53 минуты 6 секунд:

Цитата:

Не понимаю, о каком "вакуумном вакууме" идёт речь и причём тут именно электромагнетизм?

"космический вакуум" - это, по терминологии источника, гравитационное поле, порождаемое $\Lambda $- членом, хотя оно "вакуумом" в общепринятом смысле не является - просто экзотическая материя с постоянной плотностью энергии и с отрицательным давлением, по величине равным плотности её энергии (что тоже экзотично).

Из приведенного решения следует, что такой "вакуум" как статический мир постоянной кривизны без наличия другой материи ("вакуумный вакуум") существовать не может.

А электромангитное поле тут вот причем : из этого решения следует, что такой "космический вакуум" с отрицательным давлением может существовать только при наличии электромагнитного поля с плотностью энергии $\varepsilon_f>|\Lambda |$.

Почему это важно? Потому, что автору объяснения "расширения с ускорением" с помощью "антигравитирующего космического вакуума" нужно, чтобы в конце стадии расширения вселенной поле этого лямбда-члена превалировало над полем остальной материи. А этого не получается.

Цитата:

Лямбда-член - это искусственный выверт, нарушающий внутреннюю логику теории. Конечно же его "может не быть", поскольку его с успехом можно заменить соответствующей добавкой к $T_{ij}$.

Эта "добавка к тензору энергии - импульса ничем не будет отличаться от лямбда-члена, т.е. останется таким же "искусственным вывертом", как Вы пишите. С общепринятой, конечно, пока точки зрения.

Цитата:

Вообще не понял о чём речь.

Т.е. Вы хотите сказать, что не поняли главного : даже в случае с $\Lambda $ - членом как источником гравитационного поля, антигравитации нет. По крайней мере, в данном решении.

Цитата:

Вы же отрицаете наличие около голой сингулярности анти-гравитации.

Вы несколько нарушаете хронологию : сначала Вы утверждали, что около голой сингулярности в решении Рейсснера - Нордстрема есть "антигравитация". Вот Вас и спросили, почему. И уже потом было отмечено, что такого в этом решении нет.

[epros]

pc20b писал(а):

epros,
В решении Рейсснера - Нордстрема вблизи сингулярности отталкивания ("антигравитации") нет. Только фокусировка (при $r\geqslant 0$, естественно).

P.S. Ваши последние ответы свидетельствуют, что Вы не совсем вникли в задачу. Просьба повнимательнее познакомиться с выводами из данного решения.

Непонятно, во что именно мне предлагается "вникнуть".

Загляните хотя бы в эту часть популярной книжки Кауфмана, выложенную на астронете. Читайте абзац справа от картинки 10.5:
"Подробный расчет показывает, что непосредственно рядом с сингулярностью тяготение начинает действовать как отталкивание. Хотя черная дыра и притягивает к себе космонавта, пока тот находится достаточно далеко от нее, но стоит ему приблизиться к сингулярности на очень малое расстояние, и он подвергнется отталкиванию. Полной противоположностью случая решения Шварцшильда является область пространства непосредственно около сингулярности Райснера-Нордстрёма - это царство антигравитации."

В остальной части Вашего поста у меня нет особого желания разбираться, ибо я убедился, что у Вас какая-то своя логика, которой я не в состоянии постичь.

pc20b писал(а):

epros писал(а):

Лямбда-член - это искусственный выверт, нарушающий внутреннюю логику теории. Конечно же его "может не быть", поскольку его с успехом можно заменить соответствующей добавкой к $T_{ij}$.

Эта "добавка к тензору энергии - импульса ничем не будет отличаться от лямбда-члена, т.е. останется таким же "искусственным вывертом", как Вы пишите. С общепринятой, конечно, пока точки зрения.

Существенная разница заключается в том, есть ли реально некая материя с такими свойствами, или это просто некая высосанная из пальца "особенность теории", которая удивительным образом совпала с результатами наблюдений.

[pc20b]

epros

Цитата:

есть ли реально некая материя с такими свойствами, или это просто некая высосанная из пальца "особенность теории", которая удивительным образом совпала с результатами наблюдений.

Пока нет оснований говорить, что результаты наблюдений "совпали" с этой "особенностью теории". Что их можно объяснить только с помощью "антигравитации", порождаемой материей с отрицательным давлением. Это и иллюстрирует приведенный пример.

[Someone]

pc20b писал(а):

Эта ситуация любопытна - проинтерпретировать "расширение с ускорением", вроде бы наблюдаемое, как "действие космического вакуума высокой плотности", которое "пересилило действие обычной материи" и "ведет к полной статике".

Кто говорил о "статике"? Откуда Вы её взяли? Никакой "статики" в природе не наблюдается.

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

pc20b писал(а):

Пока нет оснований говорить, что результаты наблюдений "совпали" с этой "особенностью теории". Что их можно объяснить только с помощью "антигравитации", порождаемой материей с отрицательным давлением. Это и иллюстрирует приведенный пример.

Ничего Ваш пример не иллюстрирует. Как и другие примеры, которые Вы здесь излагали - что из ОТО, что из термодинамики.

[pc20b]

Someone

Цитата:

Кто говорил о "статике"? Откуда Вы её взяли? Никакой "статики" в природе не наблюдается.

Как это кто? Вы, конечно. Рады видеть Вас в новой теме. Конечно, не совсем Вы :

Цитата:

Someone
Цитата:
Почему всегда притягивает? Не всегда. Если пространство заполнено средой с отрицательным давлением, то притяжение вполне может превратиться в отталкивание. Да и вакуум, по современным данным, имеет отрицательное давление (эффект Казимира), так что он создаёт гравитационное отталкивание, которое проявляется на очень больших (космологических) расстояниях. Возможно, именно по этой причине Вселенная расширяется ускоренно, а не замедленно.

http://www.astronet.ru/db/msg/1174484

Идем по ссылке :

Цитата:

Физический вакуум и космическая анти-гравитация

В наблюдаемой Вселенной доминирует вакуум; по плотности энергии он превосходит все `обычные' формы космической материи вместе взятые. Вакуум создает космическую анти-гравитацию, которая управляет динамикой космологического расширения в современную эпоху. В результате космологическое расширение ускоряется, а 4-мерное пространство-время мира становится тем временем статическим. На это определенно указывают недавние наблюдательные исследования далеких вспышек сверхновых звезд. Открытие космического вакуума влечет за собой коренной пересмотр устоявшихся представлений о современном состоянии Вселенной.

Здесь подчеркнуты основные утверждения статьи, по которым сделаны замечания в данной теме. Не может этот "вакуум" доминировать по плотности. Поэтому не может быть статической асимптотики. И "антигравитации" пока нет. Вот что следует из приведенных результатов.

То, что мир, который начинает расширяться с ускорением (если это не местный артефакт), должен перейти в статический неограниченный (открытый) мир, автор статьи как-то обосновывает в разделе 5. Статический мир (http://www.astronet.ru/db/msg/1174484/node6.html)
В конце вывод :

Цитата:

переход в расширяющейся Вселенной от стадии преобладания обычного вещества к стадии преобладания вакуума означает постепенное исчезновение динамики в четырехмерном пространстве-времени. Пространственно-временой каркас мира, можно сказать, застывает, он перестает изменяться со временем и оказывается в результате зафиксированным навечно.

Но всё же, как самокритично отмечено в обзоре (УФН, т.171, №11, 2001) еще Ландау заметил, что “космология часто ошибается, но никогда не сомневается”.
Вот мы и высказываем сомнения.

А то, что "Никакой "статики" в природе не наблюдается", это Вы правы - только стационарные состояния :
"Всё ведомо. И только повторенье грядущее сулит" (Баратынский).

Цитата:

Ничего Ваш пример не иллюстрирует. Как и другие примеры, которые Вы здесь излагали - что из ОТО, что из термодинамики.

Конечно не иллюстрирует. Просто доказывает. Но так говорить нехорошо. От ошибок никто не...

Добавлено спустя 58 минут 45 секунд:

epros писал(а):

pc20b писал(а):

epros,
В решении Рейсснера - Нордстрема вблизи сингулярности отталкивания ("антигравитации") нет. Только фокусировка (при $r\geqslant 0$, естественно).

Загляните хотя бы в эту часть популярной книжки Кауфмана, выложенную на астронете. Читайте абзац справа от картинки 10.5:
"Подробный расчет показывает, что непосредственно рядом с сингулярностью тяготение начинает действовать как отталкивание. Хотя черная дыра и притягивает к себе космонавта, пока тот находится достаточно далеко от нее, но стоит ему приблизиться к сингулярности на очень малое расстояние, и он подвергнется отталкиванию. Полной противоположностью случая решения Шварцшильда является область пространства непосредственно около сингулярности Райснера-Нордстрёма - это царство антигравитации."

Понимаете, это так, и это не так. Попробуем показать, что

В пространстве-времени Рейсснера - Нордстрема "антигравитации" нет.

1 способ. Из девиации траекторий.

Если в какой-то области наблюдается притяжение, то соседние близко расположенные траектории частиц, световых лучей будут сходиться, т.е. будет фокусировка. Если бы наблюдалось гравитационное отталкивание, то они бы расходились - была бы дефокусировка.

Из уравнения Ландау - Райчаудхури (С.Хокинг, Дж.Эллис. Крупномасштабная структура пространства-времени. М., Мир, 1977, с.77) для скорости объемного расхождения соседних кривых

$$\frac {d\Theta }{ds}$$

следует, что гравитационное поле, порождаемое тензором Римана, так влияет на это расхождение :

$$\frac {d\Theta }{ds}\sim -R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }$$

,

где

$$R_{\mu \nu }$$

- тензор Риччи,

$$u^{\mu }$$

- 4-скорость, касательная к траектории.

Следовательно, если

$$R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }> 0$$

, то гравитационное поле самого источника оказывает фокусирующее действие (вызывает схождение траекторий), т.е. будет притяжение, если знак противоположный, то будет отталкивание.

Для поля же Рейсснера - Нордстрема, характеризующегося в вакууме плотностью энергии электромагнитного поля

$$\varepsilon _f$$

, этот скаляр равен :

$$R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }=\kappa \varepsilon _f$$

, где $\kappa $ - постоянная Эйнштейна.

Т.к.

$$\varepsilon _f >0$$

, то в любой точке мира Рейсснера - Нордстрема, включая и сингулярность $r=0$, так и в области, близко примыкающей к ней, будет наблюдаться фокусировка, т.е. гравитационное притяжение. Никакой "антигравитации" не будет (хотя поведение пробных частиц и световых лучей около сингулярности будет не простым).

[epros]

pc20b писал(а):

Следовательно, если

$$R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }> 0$$

, то гравитационное поле самого источника оказывает фокусирующее действие (вызывает схождение траекторий), т.е. будет притяжение, если знак противоположный, то будет отталкивание.

Замечательно. Поскольку для решения Шварцшильда $R_{ij} = 0$, то ни Земля, ни Солнце, оказывается, никого не притягивают.

[pc20b]

epros
Притягивают. Но вакуумные поля с нулевым тензором Риччи, действительно, дают нулевой вклад в скорость объемного расширения. Но это не значит, что фокусировки нет. Вы обратили внимание, что в приведённой формуле для

$$\frac {d\Theta }{ds}$$

cтоит знак $\sim $? Само же равенство не приведено, т.к. остальные члены для времениподобных кривых в правой части (если вращение отсутствует, т.е. тело - не спутник) дают отрицательный вклад, т.е. заведомо ведут к фокусировке, т.е. к притяжению :

$$\frac {d\Theta }{ds}=-R_{\mu \nu }u^{\mu }u^{\nu }-2\sigma ^2-\frac {1}{3}\Theta ^2$$

,

где $2\sigma ^2$ - квадрат модуля тензора расхождения. Нам же надо было показать возможный источник дефокусировки со стороны самого гравитационного поля. Для таких полей надо писать уравнение на вектор девиации

$$Z^{i}$$

, подчиняющийся уравнению Якоби, из которого видно, что в этом случае при положительной массе покоя точечного источника всегда будет фокусировка. Например, для времениподобных кривых :

$$\frac {d^2}{ds^2}Z^{i}=-R^{i}_{0k0}Z^{k}$$

, $i,k=1,2,3$.

[epros]

pc20b, мне кажется, Вы пытаетесь влезть в серьёзную математику, не понимая сути исходной постановки вопроса. Приведённое Вами выражение (свёртка тензора Риччи с четырёхскоростью) действительно характеризует степень фокусировки или расфокусировки материальных пучков под действием гравитации. По этому признаку можно судить о том, будет ли данный вид материи локально коллапсировать или нет. Но к вопросу, будет ли тяготение от некоего объекта в заданной точке притяжением или отталкиванием, это отношения не имеет.