задачи по теории вероятностей (случайные величины)

[saqwer]

Тогда у меня несколько задач:
1) Пусть $\xi_1,...,\xi_n$ и $\eta_1,...,\eta_n$ - две совокупности независимых в каждой совокупности случ. величин. Доказать, что если
$P(\xi_k \geqslant a) \geqslant P(\eta_k \geqslant a)$,
то
$P(\xi_1+...+\xi_n \geqslant a) \geqslant P(\eta_1+...+\eta_n \geqslant a)$

Может быть, подскажите хоть идею... Я не знаю от чего отталкиваться. Напрашивается мат. индукция, но базу доказать не могу...

2) Существуют ли такие случ. величины $\xi$ и $\eta$, которые не равны с вероятностью 1 константам и:
а) $\xi$ и $\xi+\eta$ независимы,
б) $\xi$ и $\xi\eta$ независимы,
в) $\xi$, $\xi+\eta$ и $\xi\eta$ независимы в совокупности?

3) Пусть $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ - случ. величины, причем $\xi$ не зависит от $\eta$ и от $\zeta$. Верно ли, что $\xi$ не зависит от $\eta+\zeta$?

Есть еще несколько задач по ТВ, которые мне надо сдать до понедельника(а точнее: их еще шесть). Тоже довольно-таки симпатишные. Надеюсь на ваше сочувствие. Заранее благодарен.
P.S.: уже НЕ сдал вовремя, но все же...

[PAV]

По-моему, первая задача неверна. Рассмотрим следующий контрпример. $n=2$, $a=1$. Величины $\xi_1,\xi_2$ принимают значения $1.1$ и $-10$ с вероятностями $0.7$ и $0.3$, соответственно. Величины $\eta_1$ и $\eta_2$ принимают значения $1.1$ и $0.9$ с равными вероятностями.

Очевидно, что $P(\xi_k\ge 1)=0.7>0.5=P(\eta_k=1)$

С другой стороны, $\xi_1+\xi_2\ge 1$ выполнено тогда, когда обе они примут значения 1.1, т.е. с вероятностью $0.49$, а для вторых величин сумма больше 1 всегда.


Может быть, в требуемом неравенстве должно быть не $a$, а $na$?

Добавлено спустя 12 минут:

Впрочем, это тоже не исправит ситуацию, пример легко изменить и на этот случай.

[saqwer]

Контрпример принимается! (Это, ведь, тоже решение...) Зачёт!
На остальные задачи вопрос остается открытым...

[PAV]

отделено в самостоятельную тему

Добавлено спустя 4 минуты 36 секунд:

Напишите свои соображения по задачам.

[saqwer]

На зачет мне предлагалось решить следующие задачи (приводятся нерешенные).
1).Будут ли независимыми случ. величины $\xi$ и $\eta$, если таковыми являются $\xi^2$ и $\eta ^ 2$?
Привожу непринятое решение.
Запишем условие независимости $\xi^2$ и $\eta ^ 2$:
$P(\xi^2 < x)P(\eta^2 < y)=P(\xi^2 < x, \eta^2 < y)$.
Переписав:
$P(-\sqrt{x}< \xi < \sqrt{x} )P(-\sqrt{y}< \eta < \sqrt{y} )=P(-\sqrt{x}< \xi < \sqrt{x}, -\sqrt{y}< \eta < \sqrt{y} )$.
А это, в свою очередь, определение независимости $\xi$ и $\eta$.
Исправьте меня пожалуйста.

2). Какие условия следует наложить на $\xi$, чтобы $\xi$ и $\sin\xi$ были независимыми?
Тут я, вообще, не понимаю до конца поставленного передо мной вопроса. Как величина $\sin\xi$ может не зависеть от $\xi$??

Добавлено спустя 7 минут 43 секунды:

не разобранными остались две задачи с соседней темы.
3) Существуют ли такие случ. величины $\xi$ и $\eta$, которые не равны с вероятностью 1 константам и:
а) $\xi$ и $\xi+\eta$ независимы,
б) $\xi$ и $\xi\eta$ независимы,
в) $\xi$, $\xi+\eta$ и $\xi\eta$ независимы в совокупности?

4) Пусть $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ - случ. величины, причем $\xi$ не зависит от $\eta$ и от $\zeta$. Верно ли, что $\xi$ не зависит от $\eta+\zeta$?

Добавлено спустя 1 час 5 минут 35 секунд:

первую можно уже не решать. я, кажется построил контрпример...

[незваный гость]

saqwer писал(а):

А это, в свою очередь, определение независимости $\xi$ и $\eta$.

Это не определение. Определение короче: $P(\xi < {x} )P(\eta < {y} )=P(\xi < {x}, \eta < {y} )$. А то, чего в определении нет, может Вам сильно мешать.

[PAV]

PAV:

Не нужно дублировать свои темы. Слито с предыдущей.

Добавлено спустя 2 минуты 51 секунду:

saqwer писал(а):

Тут я, вообще, не понимаю до конца поставленного передо мной вопроса. Как величина $\sin\xi$ может не зависеть от $\xi$??

Например, если $\sin\xi$ - константа.

Добавлено спустя 6 минут 17 секунд:

Про задачу 3-в подумайте, что если нам известны значения $\xi$ и $\xi+\eta$, то мы можем найти в точности значение $\xi\eta$.

А еще заметьте, что в условии задачи не сказано, чтобы исходные величины $\xi$ и $\eta$ были независимы. Вы можете сначала взять пару независимых величин, которые требуется получить, а затем уже выразить из них $\xi$ и $\eta$.

[neo66]

saqwer писал(а):

4) Пусть $\xi$, $\eta$ и $\zeta$ - случ. величины, причем $\xi$ не зависит от $\eta$ и от $\zeta$. Верно ли, что $\xi$ не зависит от $\eta+\zeta$?

Может быть полезно такое наблюдение: если $\xi$ - тождественная константа, то случайные величины $\xi$ и $\xi$ независимы.

[PAV]

А вот 4 неверно. Существует известный пример тройки попарно независимых случайных величин, но зависимых в совокупности: тройки (0,0,0); (0,1,1); (1,0,1); (1,1,0), принимаемые с равными вероятностями. В этом случае, в частности, сумма любых двух компонент однозначно определяет третью (поскольку сумма всех трех всегда четна).

[saqwer]

Благодарю всех за то, что помогли разобраться в данных проблемах...
Особенная благодарность модератору PAV. Ваши рассуждения бесценны.
Правда, зачет все-равно не получил. Слишком поздно. Ну, да и бог с ним!

[PAV]

saqwer писал(а):

Ну, да и бог с ним!

Похвально