Найти коэффициент многочлена

[sopor]

Рассмотрим многочлен $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n$
Требуется найти коэффициент при степени k. Возможно ли это?

[xmaister]

Multinomial theorem

[Whitaker]

Слышали про мультиномиальный коэффициент?

$$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n=\sum \limits_{k_0+\dots+k_5=n}\dfrac{n!}{k_0!k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!}1^{k_0}x^{k_1}x^{2k_2}x^{3k_3}x^{4k_4}x^{5k_5}$$

Получаем, что коэффициентом при $x^k$ будет мультиномиальный коэффициент $\dfrac{n!}{k_0!k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!}$ с условиями $\sum \limits_{j=1}^{5}jk_j=k$ и $\sum \limits_{i=0}^{5}k_j=n$

(Оффтоп)

Извиняюсь xmaister меня опередил уже

[sopor]

Дак дело в том, что коэффициент на самом деле не есть мультиномиальный в чистом виде, он есть сумма нескольких мультиномиальных, и мне нужно именно эту сумму и посчитать.

[xmaister]

Вы хотите замкнутый вид? Не думаю, что это возможно...

[Евгений Машеров]

А можно его k раз продифференцировать и подставить x=0?

[mihiv]

Можно записать производящую функцию в виде:

$$\left (\dfrac {1-x^6}{1-x}\right )^n=\frac {(-1)^{(n-1)}}{(n-1)!}(1-x^6)^n(1+x+x^2+\dots )^{(n)}$$

-- Сб фев 23, 2013 14:40:54 --

Правильно будет:

$$\left (\dfrac {1-x^6}{1-x}\right )^n=\frac 1{(n-1)!}(1-x^6)^n(1+x+x^2+\dots )^{(n)}$$