2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 00:25 
Аватара пользователя
Рассмотрим многочлен $(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n$
Требуется найти коэффициент при степени k. Возможно ли это?

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 00:57 
Аватара пользователя
Multinomial theorem

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 01:05 
Аватара пользователя
Слышали про мультиномиальный коэффициент?
$$(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n=\sum \limits_{k_0+\dots+k_5=n}\dfrac{n!}{k_0!k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!}1^{k_0}x^{k_1}x^{2k_2}x^{3k_3}x^{4k_4}x^{5k_5}$$ Получаем, что коэффициентом при $x^k$ будет мультиномиальный коэффициент $\dfrac{n!}{k_0!k_1!k_2!k_3!k_4!k_5!}$ с условиями $\sum \limits_{j=1}^{5}jk_j=k$ и $\sum \limits_{i=0}^{5}k_j=n$

(Оффтоп)

Извиняюсь xmaister меня опередил уже :-)

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 09:06 
Аватара пользователя
Дак дело в том, что коэффициент на самом деле не есть мультиномиальный в чистом виде, он есть сумма нескольких мультиномиальных, и мне нужно именно эту сумму и посчитать.

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 09:48 
Аватара пользователя
Вы хотите замкнутый вид? Не думаю, что это возможно...

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение21.02.2013, 22:01 
Аватара пользователя
А можно его k раз продифференцировать и подставить x=0?

 
 
 
 Re: Найти коэффициент многочлена
Сообщение23.02.2013, 12:50 
Можно записать производящую функцию в виде:$$\left (\dfrac {1-x^6}{1-x}\right )^n=\frac {(-1)^{(n-1)}}{(n-1)!}(1-x^6)^n(1+x+x^2+\dots )^{(n)}$$

-- Сб фев 23, 2013 14:40:54 --

Правильно будет:$$\left (\dfrac {1-x^6}{1-x}\right )^n=\frac 1{(n-1)!}(1-x^6)^n(1+x+x^2+\dots )^{(n)}$$

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group